Modellistica bayesiana mediante multivariata normale con covariata

Supponiamo di avere una variabile esplicativa ${\bf{X}} = \left(X(s_{1}),\ldots,X(s_{n})\right)$ dove $s$ rappresenta una data coordinata. Hai anche una variabile di risposta ${\bf{Y}} = \left(Y(s_{1}),\ldots,Y(s_{n})\right)$ . Ora, possiamo combinare entrambe le variabili come:

W (s) = (\begin{array}{ccc} X (s) \\ Y (s) \end{array}) \sim N (μ (s), T)

${\bf{W}}({\bf{s}}) = \left( \begin{array}{ccc}X(s) \\ Y(s) \end{array} \right) \sim N(\boldsymbol{\mu}(s), T)$

In questo caso, scegliamo semplicemente e è una matrice di covarianza che descrive il relazione tra e . Questo descrive solo il valore di e su . Dato che abbiamo più punti da altre posizioni per e , possiamo descrivere più valori di nel modo seguente: $\boldsymbol{\mu}(s) = \left( \mu_{1} \; \; \mu_{2}\right)^{T}$ $T$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $s$ $X$ $Y$ ${\bf{W}}(s)$

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) = N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Noterai che abbiamo riordinato i componenti di $\bf{X}$ e $\bf{Y}$ per ottenere tutte le $X(s_i)$ in una colonna e, successivamente, concateniamo tutte le $Y(s_i)$ insieme. Ogni componente $H(\phi)_{ij}$ è una funzione di correlazione $\rho(s_i, s_j)$ e $T$ è come sopra. La ragione abbiamo la covarianza $T\otimes H(\phi)$ è perché si suppone sia possibile separare la matrice di covarianza $C(s, s')=\rho(s, s') T$ .

Domanda 1: quando calcolo il condizionale , quello che sto effettivamente facendo è generare un set di valori di basato su , corretta? Ho già quindi sarei più interessato a prevedere un nuovo punto . In questo caso, dovrei avere una matrice definita come ${\bf{Y}}\mid{\bf{X}}$ $\bf{Y}$ $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $y(s_{0})$ $H^{*}(\phi)$

H^{*} (ϕ) = (\begin{array}{ccc} H (ϕ) & h \\ h & ρ (0, ϕ) \end{array})

$H^{*}(\phi) = \left(\begin{array}{ccc}H(\phi) & \boldsymbol{h} \\ \boldsymbol{h}& \rho(0,\phi) \end{array}\right)$

in cui è un vettore . Pertanto, possiamo costruire un vettore (senza riarrangiamento): $\boldsymbol{h}(\phi)$ $\rho(s_{0} - s_{j};\phi)$

W^{*} = {(W (s_{1}), \dots, W (s_{n}), W (s_{0}))}^{T} \sim N (\begin{array}{ccc} 1_{n + 1} \otimes (\begin{array}{ccc} μ_{1} \\ μ_{2} \end{array}) \end{array}, H (ϕ)^{*} \otimes T)

${\bf{W^{*}}} = \left({\bf{W}}(s_{1}), \ldots, {\bf{W}}(s_{n}), {\bf{W}}(s_{0})\right)^{T} \sim N\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{1}_{n+1} \otimes \left( \begin{array}{ccc} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array} \right)\end{array}, H(\phi)^{*}\otimes T\right)$

E ora ho appena riorganizzato per ottenere una distribuzione congiunta e ottenere il condizionale . $\left(\begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ x(s_0) \\{\bf{Y}} \\ y(s_0)\end{array} \right)$ $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

È corretto?

Domanda 2: per la previsione, il documento che sto leggendo indica che devo usare questa distribuzione condizionale e ottenere una posizione posteriore distribuzione , ma non sono sicuro di come ottenere la distribuzione posteriore per i parametri. Forse potrei usare la distribuzione che penso è esattamente lo stesso di e quindi usa semplicemente il teorema di Bayes per ottenere $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$ $p(\mu, T, \phi\mid x(s_0), {\bf{Y}}, {\bf{X}})$ $\left(\begin{array}{ccc}{\bf{X}} \\ x(s_0)\\ {\bf{Y}}\end{array}\right)$ $p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)$ $p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}) \propto p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)p(\mu, T, \phi)$

Domanda 3: alla fine del sottocapitolo, l'autore dice questo:

Per la previsione, non abbiamo . Ciò non crea nuovi problemi in quanto può essere trattato come una variabile latente e incorporato in Ciò si traduce solo in un ulteriore sorteggio all'interno di ogni iterazione di Gibbs ed è una banale aggiunta all'attività computazionale. ${\bf{X}}(s_0)$ $\bf{x}'$

Cosa significa quel paragrafo?

A proposito, questa procedura può essere trovata in questo documento (pagina 8), ma come puoi vedere, ho bisogno di un po 'più di dettagli.

Grazie!

— Robert Smith
fonte

Votato per la migrazione per richiesta OP .

Direi corretto ad entrambe le tue risposte alle domande 1 e 2. La domanda 3 significa che la non osservata viene trattata come un parametro aggiuntivo, in cima a , usando il condizionale completo come precedente su .

X (s_{0})

$X(s_0)$

μ, T, ϕ

$\mu,T,\phi$

p (x (s_{0}) ∣ X,, Y, μ, T, ϕ)

$p(x(s_0)\mid{\bf{X}}, , {\bf{Y}},\mu, T, \phi)$

X (s_{0})

$X(s_0)$

— Xi'an,

Domanda 1: Dato il tuo modello di probabilità congiunto (Queste formule sono copiate alla lettera

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) \sim N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), [\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) \sim N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), \begin{bmatrix} \boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{12} \\ \boldsymbol\Sigma_{21} & \boldsymbol\Sigma_{22} \end{bmatrix} \right)=N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$ la distribuzione condizionale di dato è anche normale, con media e matrice varianza-covarianza

Y

$\bf{Y}$

X

$\bf{X}$

μ_{2} + Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} (X - μ_{1})

$\boldsymbol\mu_2 + \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \left( \mathbf{X} - \boldsymbol\mu_1\right)$

Σ_{22} - Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} Σ_{21} .

$\boldsymbol\Sigma_{22} - \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \boldsymbol\Sigma_{21}.$ pagina Wikipedia sulle normali multivariate .) Lo stesso vale perdaè un altro vettore normale.

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

(y (s_{0}), x (s_{0}), X, Y)

$(y(s_0), x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

Domanda 2: Il predittivo è definito come vale a dire, integrando i parametri usando la distribuzione posteriore di quei posteriori, dati i dati attuali $p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y) = \int p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ | x (s_{0}), X, Y) d μ d T d ϕ,

$p(y(s_0) | x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(y(s_0)| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,,$

(X, Y, x (s_{0}))

$({\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0))$ . Quindi c'è un po 'di più nella risposta completa. Ovviamente, se hai solo bisogno di simulare dal predittivo, la tua idea di simulare congiuntamente da e quindi da è valido.

p (μ, T, ϕ ∣ X, x (s_{0}), Y)

$p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)$

Domanda 3: Nel caso in cui non venga osservato, la coppia può essere prevista da un altro predittivo $x(s_0)$ $(x(s_0),y(s_0))$

p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y) = \int p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ ∣ X, Y) d μ d T d ϕ .

$p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,.$

Quando si simula da questo metodo predittivo, poiché non è disponibile in una forma gestibile, è possibile eseguire un campionatore di Gibbs che simula iterativamente

$\mu\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\phi$
$T\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),\mu,\phi$
$\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\mu$
$x(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},y(s_0),\phi,T,\mu$
$y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),\phi,T,\mu$

oppure unisci i passaggi 4 e 5 in un unico passaggio

$x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\phi,T,\mu$

— Xi'an
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