Spiegazione per gradi di libertà non interi in t test con varianze disuguali


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La procedura T-Test SPSS riporta 2 analisi quando si confrontano 2 medie indipendenti, un'analisi con varianze uguali assunta e una con varianze uguali non ipotizzata. I gradi di libertà (df) quando si assumono varianze uguali sono sempre valori interi (e uguale n-2). I df quando non si ipotizzano varianze uguali sono non interi (es. 11.467) e in nessun luogo vicino a n-2. Sto cercando una spiegazione della logica e del metodo utilizzato per calcolare questi df non interi.


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Una presentazione PowerPoint dell'Università della Florida contiene un buon resoconto di come questa approssimazione alla distribuzione campionaria della statistica t Student è derivata nel caso di varianze disuguali.
whuber

Il test t di Welch è sempre più preciso? C'è un aspetto negativo nell'utilizzo dell'approccio Welch?
Joel W.,

Se il Welch e l'originale test t producono p notevolmente diversi, con cosa dovrei andare? Cosa succede se il valore p per le differenze di varianza è solo .06, ma le differenze nei valori p dei due t-test sono .000 e .121? (Ciò si è verificato quando un gruppo di 2 non aveva alcuna varianza e l'altro gruppo di 25 aveva una varianza di 70.000.)
Joel W.

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Non scegliere tra di loro sulla base del valore . A meno che tu non abbia una buona ragione (prima ancora di vedere i dati) per assumere la stessa varianza, semplicemente non fare questa ipotesi. p
Glen_b -Restate Monica

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Tutte le domande riguardano quando utilizzare il test Welch. Questa domanda è stata pubblicata su stats.stackexchange.com/questions/116610/…
Joel W.

Risposte:


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Si può dimostrare che Welch-Satterthwaite df è una media armonica ponderata in scala dei due gradi di libertà, con pesi proporzionati alle corrispondenti deviazioni standard.

L'espressione originale recita:

νW=(s12n1+s22n2)2s14n12ν1+s24n22ν2

Notare che è la varianza stimato i esimo campione medio o quadrato della i -esimo errore standard della media . Sia r = r 1 / r 2 (il rapporto delle varianze stimate della media del campione), quindiri=si2/niithir=r1/r2

νW=(r1+r2)2r12ν1+r22ν2=(r1+r2)2r12+r22r12+r22r12ν1+r22ν2=(r+1)2r2+1r12+r22r12ν1+r22ν2

1+sech(log(r))1r=02r=11r=logr

Il secondo fattore è una media armonica ponderata :

H(x_)=i=1nwii=1nwixi.

of the d.f., where wi=ri2 are the relative weights to the two d.f.

Which is to say, when r1/r2 is very large, it converges to ν1. When r1/r2 is very close to 0 it converges to ν2. When r1=r2 you get twice the harmonic mean of the d.f., and when s12=s22 you get the usual equal-variance t-test d.f., which is also the maximum possible value for νW.

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With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.

The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.

A more textbook-style derivation can be found here.


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Great insight about the harmonic mean, which is more appropriate than arithmetic mean for averaging ratios.
Felipe G. Nievinski

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What you are referring to is the Welch-Satterthwaite correction to the degrees of freedom. The t-test when the WS correction is applied is often called Welch's t-test. (Incidentally, this has nothing to do with SPSS, all statistical software will be able to conduct Welch's t-test, they just don't usually report both side by side by default, so you wouldn't necessarily be prompted to think about the issue.) The equation for the correction is very ugly, but can be seen on the Wikipedia page; unless you are very math savvy or a glutton for punishment, I don't recommend trying to work through it to understand the idea. From a loose conceptual standpoint however, the idea is relatively straightforward: the regular t-test assumes the variances are equal in the two groups. If they're not, then the test should not benefit from that assumption. Since the power of the t-test can be seen as a function of the residual degrees of freedom, one way to adjust for this is to 'shrink' the df somewhat. The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the smaller group. (As @Glen_b notes below, it depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2; if the larger n is associated with a sufficiently smaller variance, the combined df can be lower than the larger of the two df.) The WS correction finds the right proportion of way from the former to the latter to adjust the df. Then the test statistic is assessed against a t-distribution with that df.


For one t-test, SPSS reports the df as 26.608 but the n's for the two groups are 22 and 104. Are you sure about " The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the larger group"? (The standard deviations are 10.5 and 8.1 for the smaller and larger groups, respectively.)
Joel W.

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It depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2. If the larger n is associated with a sufficiently larger variance, the combined d.f. can be lower than the larger of the two d.f. Note that the Welch t-test is only approximate, since the squared denominator is not actually a (scaled) chi-square random variate. However in practice it does quite well.
Glen_b -Reinstate Monica

I think I'll expand on the relationship between the relative sizes of the (si2/ni) and the Welch d.f. in an answer (since it won't fit in a comment).
Glen_b -Reinstate Monica

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@Glen_b, I'm sure that will be of great value here.
gung - Reinstate Monica
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