Esempio di incoerente stimatore della massima verosimiglianza

Sto leggendo un commento a un articolo e l'autore afferma che a volte, anche se gli stimatori (rilevati da ML o massima quasilikelihood) potrebbero non essere coerenti, la potenza di un rapporto di verosimiglianza o di un rapporto di quasi verosimiglianza può ancora convergere in 1 poiché il numero di dati osservati tende all'infinito (coerenza del test). Come e quando succede? Conosci qualche bibliografia?

[Penso che questo potrebbe essere un esempio del tipo di situazione in discussione nella tua domanda.]

Esistono numerosi esempi di stimatori ML incoerenti. L'incoerenza è comunemente vista con una varietà di problemi di miscela leggermente complicati e problemi di censura.

[La coerenza di un test è fondamentalmente solo il fatto che la potenza del test per un'ipotesi (fissa) falsa aumenta a una come .]$n\to\infty$

Radford Neal fa un esempio nel suo blog del 2008-08-09. Incoerente stima della massima verosimiglianza: un esempio "ordinario" . Implica la stima del parametro in:$\theta$

(Neal usa dove ho θ ) dove la stima ML di θ tenderà a 0 come n → ∞ (e in effetti la probabilità può essere molto più alta in un picco vicino a 0 rispetto al valore reale per dimensioni del campione abbastanza modeste). Tuttavia, c'è un picco vicino al valore reale θ , è solo più piccolo di quello vicino a 0.$t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

Immagina ora due casi relativi a questa situazione:

a) eseguire un test del rapporto di verosimiglianza di rispetto all'alternativa H 1 : θ < θ 0 ;$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

b) eseguire un test del rapporto di verosimiglianza di rispetto all'alternativa H 1 : θ ≠ θ 0 .$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

Nel caso (a), immagina che il vero (in modo che l'alternativa sia vera e 0 sia l'altro lato del vero θ ). Quindi, nonostante il fatto che la probabilità molto vicino a 0 supererà quella a θ , la probabilità a θ supera comunque la probabilità a θ 0 anche in piccoli campioni, e il rapporto continuerà a crescere come n → ∞ , in tale un modo per rendere la probabilità di rifiuto in un test del rapporto di verosimiglianza andare a 1.$\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

In effetti, anche nel caso (b), fintanto che è fisso e delimitato da 0 , dovrebbe anche accadere che il rapporto di probabilità aumenti in modo tale da aumentare la probabilità di rigetto in un test del rapporto di verosimiglianza approccio 1.$\theta_0$$0$

Quindi questo sembrerebbe essere un esempio di stima ML incoerente, in cui la potenza di un LRT dovrebbe comunque andare a 1 (tranne quando ).$\theta_0=0$

[Si noti che in realtà non c'è nulla che non sia già nella risposta di Whuber, che ritengo sia un esempio di chiarezza, ed è molto più semplice per comprendere la differenza tra la coerenza del test e la coerenza di uno stimatore. Il fatto che lo stimatore incoerente nell'esempio specifico non fosse ML non ha davvero importanza per quanto riguarda la comprensione di tale differenza - e portare in uno stimatore incoerente che è specificamente ML - come ho cercato di fare qui - non altera davvero il spiegazione in modo sostanziale. L'unico vero punto dell'esempio qui è che penso che risolva la tua preoccupazione sull'uso di uno stimatore ML.]

Sia disegnato da una distribuzione normale ( μ , 1 ) . Considera lo stimatore$(X_n)$$(\mu, 1)$

$T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$, dimostrandolo è incoerente.

In comparing a null hypothesis $\mu=\mu_0$ to a simple alternative, say $\mu=\mu_A$, the log likelihood ratio will be exactly the same as the LLR based on $\bar{X}$ instead of $T$. (In effect, $T$ is useful for comparing the null hypothesis $\mu+1=\mu_0+1$ to the alternative hypothesis $\mu+1=\mu_A+1$.) Since the test based on the mean has power converging to $1$ for any test size $\alpha\gt 0$ and any effect size, the power of the test using $T$ itself also converges to $1$.