Stima del numero di palline selezionando successivamente una pallina e segnandola

Diciamo che ho N palline in una borsa. Al mio primo pareggio, segnare la palla e sostituirla nella borsa. Al mio secondo pareggio, se raccolgo una palla segnata la rimetto nella borsa. Se, tuttavia, raccolgo una palla non segnata, la segnerò e la rimetto nella borsa. Lo continuo per qualsiasi numero di pareggi. Qual è il numero atteso di palloni nella borsa dato un numero di pareggi e la storia marcata / non marcata dei disegni?

— ashemon
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Possibilmente correlato: hai esaminato il metodo di cattura-riconquista per stimare l'abbondanza della popolazione? en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture

— a.arfe,

"Numero previsto" non può essere inteso nel suo senso usuale tecnica di un valore atteso, perché non c'è distribuzione di probabilità per

N

$N$ . Sembra che si sta chiedendo uno stimatore di

N

$N$ .

— whuber

Ecco un'idea. Lasciate essere un sottoinsieme finito di numeri naturali che servirà come i possibili valori per . Supponiamo di avere una distribuzione precedente su . Fissare un non casuale intero positivo . Sia la variabile casuale che indica il numero di volte che segniamo una palla in pesca dal sacchetto. L'obiettivo è trovare . Questa sarà la funzione di e del precedente. $\mathcal{I}$ $N$ $\mathcal{I}$ $M$ $k$ $M$ $E(N|k)$ $M,k$

Per regola di Bayes abbiamo

\begin{aligned} P (N = j | k) & = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{P (k)} \\ = \frac{P (k | N = j) P (N = j)}{\sum_{r \in I} P (k | N = r) P (N = r)} \end{aligned}

$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$

Il calcolo è un calcolo noto che è una variante del problema dei collezionisti di coupon. è la probabilità che osserviamo distinti coupon in disegni quando ci sono coupon in totale. Vedi qui per un argomento per $P(k|N=j)$ $P(k|N=j)$ $k$ $M$ $j$

P (k | N = j) = \frac{(\binom{j}{k}) k! S (M, k)}{j^{M}}

$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$

dove indica un numero stirling del secondo tipo . Possiamo quindi calcolare $S$

E (N | k) = \sum_{j \in I} j P (N = j | k)

$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$

Questi sono alcuni calcoli di diverse e . In ogni caso usiamo un'uniforme prima di $k$ $M$ $[k,10k]$

\begin{array}{ccc} M & k & E (N) \\ 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69 \\ 30 & 15 & 20.00 \\ 30 & 20 & 39.53 \end{array}

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$

— user35546
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