Qual è la differenza tra ed ?

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In generale, qual è la differenza tra $E(X|Y)$ ed $E(X|Y=y)$ ?

Precedentemente è la funzione di e quest'ultima è la funzione di ? È così confuso .. $y$ $x$

conditional-expectation notation definition

— 신범준
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Hmmm ... Quest'ultimo non dovrebbe essere una funzione di x ma un numero! Ho sbagliato?

— David,

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In parole povere, la differenza tra ed è che la prima è una variabile casuale, mentre la seconda è (in un certo senso) una realizzazione di . Ad esempio, se allora è la variabile casuale Al contrario, una volta osservato , saremmo più probabilmente interessati alla quantità che è uno scalare. $E(X \mid Y)$ $E(X \mid Y = y)$ $E(X \mid Y)$

(X, Y) \sim N (0, (1 ρ ρ 1))

$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$

E(X∣Y) $E(X \mid Y)$

E (X ∣ Y) = ρ Y .

$E(X \mid Y) = \rho Y.$

Y=y $Y = y$

E(X∣Y=y)=ρy $E(X \mid Y = y) = \rho y$

Forse questo sembra come complicazione inutile, ma per quanto riguarda come una variabile casuale a sé stante è ciò che rende le cose come la torre-legge hanno senso - la cosa all'interno delle parentesi graffe è casuale, quindi possiamo chiederci quale sia la sua aspettativa, mentre non c'è nulla di casuale su . Nella maggior parte dei casi potremmo sperare di calcolare $E(X \mid Y)$ $E(X) = E[E(X \mid Y)]$ $E(X \mid Y = y)$

E (X ∣ Y = y) = \int x f X ∣ Y (x ∣ y) d x

$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$

e quindi ottenere "inserendo" la variabile casuale al posto di nell'espressione risultante. Come accennato in un commento precedente, c'è un po 'di sottigliezza che può insinuarsi riguardo a come queste cose sono rigorosamente definite e collegandole nel modo appropriato. Questo tende ad accadere con probabilità condizionata, a causa di alcuni problemi tecnici con la teoria di base. $E(X \mid Y)$ $Y$ $y$

— tipo
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Supponiamo che e siano variabili casuali. $X$ $Y$

Sia un numero reale fisso , diciamo . Quindi, è un numero : è il valore atteso condizionale di dato che ha valore . Ora, nota per qualche altro numero reale fisso , diciamo , sarebbe il valore atteso condizionale di dato (un valore reale numero). Non c'è motivo di supporre che ed $y_0$ $y_0 = 1$ $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ $X$ $Y$ $1$ $y_1$ $y_1=1.5$ $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ $X$ $Y = 1.5$ $E[X\mid Y = 1.5]$ $E[X\mid Y = 1]$ hanno lo stesso valore. Pertanto, possiamo anche considerare come una funzione a valore reale che mappa i numeri reali ai numeri reali . Si noti che l'affermazione nella domanda del PO che è una funzione di non è corretta: è una funzione con valore reale di . $E[X\mid Y=y]$ $g(y)$ $y$ $E[X\mid Y = y]$ $E[X\mid Y = y]$ $x$ $E[X\mid Y = y]$ $y$

D'altra parte, è una variabile casuale che risulta essere una funzione della variabile casuale . Ora, ogni volta che scriviamo , intendiamo che ogni volta che la variabile casuale ha valore , la variabile casuale ha valore . Ogni volta che assume il valore , la variabile casuale assume il valore . Pertanto, è solo un altro nome per la variabile casuale $E[X\mid Y]$ $Z$ $Y$ $Z = h(Y)$ $Y$ $y$ $Z$ $h(y)$ $Y$ $y$ $Z = E[X\mid Y]$ $E[X\mid Y = y] = g(y)$ $E[X\mid Y]$ $Z = g(Y)$ . Si noti che è una funzione di (non come nell'affermazione della domanda del PO). $E[X\mid Y]$ $Y$ $y$

Come semplice esempio illustrativo, supponiamo che e siano variabili casuali discrete con distribuzione congiunta Nota che e sono variabili casuali (dipendenti) di Bernoulli con parametri rispettivamente e , e quindi ed . Ora, nota che condizionato su , è una variabile casuale di Bernoulli con parametro mentre condizionata $X$ $Y$

P (X = 0, Y = 0) P (X = 1, Y = 0) = 0.1, P (X = 0, Y = 1) = 0.2, = 0.3, P (X = 1, Y = 1) = 0.4.

$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$

X $X$

Y $Y$

0.7 $0.7$

0.6 $0.6$

E[X]=0.7 $E[X] = 0.7$

E[Y]=0.6 $E[Y] = 0.6$

Y=0 $Y=0$

X $X$

0.75 $0.75$ su , è una variabile casuale di Bernoulli con parametro . Se non riesci a capire perché questo è così immediato, basta elaborare i dettagli: ad esempio e similmente per e . Quindi, abbiamo che Pertanto, dove è una funzione a valore reale che gode delle proprietà:

Y=1 $Y = 1$

X $X$

23 $\frac 23$

P (X = 1 ∣ Y = 0) = P ( X = 1 , Y = 0 ) P ( Y = 0 ) = 0.3 0.4 = 3 4, P (X = 0 ∣ Y = 0) = P ( X = 0 , Y = 0 ) P ( Y = 0 ) = 0.1 0.4 = 1 4,

$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$

P(X=1∣Y=1) $P(X=1\mid Y=1)$

P(X=0∣Y=1) $P(X=0\mid Y = 1)$

E [X ∣ Y = 0] = 3 4, E [X ∣ Y = 1] = 2 3 .

$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$

E[X∣Y=y]=g(y) $E[X\mid Y = y] = g(y)$

g(y) $g(y)$

g (0) = 3 4, g (1) = 2 3 .

$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$

D'altra parte, è una variabile casuale che assume valori e con probabilità e rispettivamente. Si noti che è una variabile casuale discreta ma non è una variabile casuale di Bernoulli. $E[X\mid Y] = g(Y)$ $\frac 34$ $\frac 23$ $0.4 = P(Y=0)$ $0.6 = P(Y=1)$ $E[X\mid Y]$

Come tocco finale, nota che Cioè, il valore atteso di questa funzione di , che abbiamo calcolato usando solo la distribuzione marginale di , sembra avere lo stesso valore numerico di !! Questo è un esempio di un risultato più generale che molte persone credono essere una BUGIA:

E [Z] = E [E [X ∣ Y]] = E [g (Y)] = 0.4 \times 3 4 + 0.6 \times 2 3 = 0.7 = E [X] .

$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$

Y $Y$

E[X] $E[X]$

E [E [X ∣ Y]] = E [X] .

$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$

Scusa, è solo una piccola battuta. BUGIA è l'acronimo di Law of Iterated Expectation, che è un risultato perfettamente valido che tutti credono sia la verità.

— Dilip Sarwate
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$E(X|Y)$ è l'aspettativa di una variabile casuale: l'aspettativa di subordinata . , d'altra parte, è un valore particolare: il valore atteso di quando . $X$ $Y$ $E(X|Y=y)$ $X$ $Y=y$

Pensala in questo modo: lascia che rappresenti l'apporto calorico e rappresenti l'altezza. è quindi l'apporto calorico, condizionale su altezza - e in questo caso, rappresenta la nostra migliore ipotesi al apporto calorico ( ) quando una persona ha una certa altezza diciamo 180 centimetri. $X$ $Y$ $E(X|Y)$ $E(X|Y=y)$ $X$ $Y = y$

— abaumann
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Credo che la tua prima frase dovrebbe sostituire "distribuzione" con "aspettativa" (due volte).

— Glen_b -Restate Monica

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E(X∣Y) $E(X\mid Y)$ non è la distribuzione di data ; questo sarebbe più comunemente indicato dalla densità condizionale o dalla funzione di distribuzione condizionale.

è l'aspettativa condizionale di

dato

, che è una variabile casuale misurabile

potrebbe essere pensato come la realizzazione della variabile casuale

quando

X $X$

Y $Y$

fX∣Y(x∣y) $f_{X \mid Y} (x \mid y)$

E(X∣Y) $E(X \mid Y)$

X $X$

Y $Y$

E(X∣Y=y) $E(X \mid Y = y)$

E(X∣Y) $E(X \mid Y)$

viene osservato (ma esiste la possibilità che insinui la sottigliezza teorica della misura). Y=y $Y = y$

— ragazzo,

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@guy La tua spiegazione è la prima risposta precisa ancora fornita (su tre finora offerti). Considereresti di pubblicarlo come una risposta?

— whuber

@whuber Vorrei ma non sono sicuro di come trovare un equilibrio tra accuratezza e rendere la risposta opportunamente utile all'OP e sono paranoico di essere inciampato su tecnicismi :)

— ragazzo

@Guy Penso che tu abbia già fatto un buon lavoro con i tecnicismi. Dato che sei sensibile nel comunicare bene con l'OP (il che è fantastico!), Considera di offrire un semplice esempio per illustrare - forse solo una distribuzione congiunta con marginali binari.

— whuber

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è il valore atteso dei valori di dati i valori di è il valore atteso di dato che il valore di è $E(X|Y)$ $X$ $Y$ $E(X|Y=y)$ $X$ $Y$ $y$

Generalmente è la probabilità di valori dati valori , ma puoi ottenere più preciso e dire , cioè la probabilità di valore da tutte le dato il 'th valore di 's. La differenza è che nel primo caso si tratta di "valori di" e nel secondo si considera un certo valore. $P(X|Y)$ $X$ $Y$ $P(X=x|Y=y)$ $x$ $X$ $y$ $Y$

È possibile trovare utile il diagramma seguente.

Bayes theorem diagram form Wikipedia

— Tim
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Questa risposta discute la probabilità, mentre la domanda pone delle aspettative. Qual è la connessione?

— whuber