C'è una buona ragione per queste definizioni, che diventa più chiara quando si guarda la forma generale per i momenti di variabili casuali standardizzate. Per rispondere a questa domanda, in primo luogo considerare la forma generale del ° standardizzata momento centrale :n††
ϕn=E[(X−E[X]S[X])n ].
I primi due momenti centrali standardizzati sono i valori e , che per tutte le distribuzioni per le quali la quantità di cui sopra è ben definita. Quindi, possiamo considerare i momenti centrali standardizzati non banali che si verificano per i valori . Per facilitare la nostra analisi definiamo:ϕ1=0ϕ2=1n⩾3
ϕ+nϕ−n=E[∣∣∣X−E[X]S[X]∣∣∣n ∣∣∣X>E[X]]⋅P(X>E[X]),=E[∣∣∣X−E[X]S[X]∣∣∣n ∣∣∣X<E[X]]⋅P(X<E[X]).
Questi sono quantità non negativi che conferiscono esima assoluta potenza del standardizzato condizionale variabile casuale che sia sopra o sotto il suo valore atteso. Ora scomporremo il momento centrale standardizzato in queste parti.n
I valori dispari di misurano l'inclinazione nelle code:n per qualsiasi valore dispari di abbiamo una potenza dispari nell'equazione del momento e quindi possiamo scrivere il momento centrale standardizzato come . Da questa forma si vede che il momento centrale standardizzato ci dà la differenza tra il esima potenza assoluta della variabile casuale standardizzata, subordinato al fatto di essere sopra o sotto la sua media rispettivamente.n⩾3ϕn=ϕ+n−ϕ−nn
Pertanto, per qualsiasi potenza dispari otterremo una misura che fornisce valori positivi se la potenza assoluta prevista della variabile casuale standardizzata è maggiore per valori al di sopra della media rispetto a valori al di sotto della media e fornisce valori negativi se l'atteso la potenza assoluta è inferiore per i valori al di sopra della media rispetto ai valori al di sotto della media. Qualunque di queste quantità potrebbe ragionevolmente essere considerata come una misura di un tipo di "asimmetria", con potenze più elevate che danno un peso relativo maggiore a valori che sono lontani dalla media.n⩾3
Poiché questo fenomeno si verifica per ogni potere dispari , la scelta naturale per una misura archetipica di "asimmetria" è definire come l' . Questo è un momento centrale standardizzato inferiore rispetto ai poteri dispari più elevati ed è naturale esplorare i momenti di ordine inferiore prima di considerare i momenti di ordine superiore. In statistica abbiamo adottato la convenzione di riferirsi a questo momento centrale standardizzato come l' asimmetria , poiché è il momento centrale standardizzato più basso che misura questo aspetto della distribuzione. (I poteri dispari più alti misurano anche i tipi di asimmetria, ma con una sempre maggiore enfasi su valori lontani dalla media.)n⩾3ϕ3
I valori pari di misurano la gravità delle code:n per qualsiasi valore pari di abbiamo una potenza pari nell'equazione del momento e quindi possiamo scrivere il momento centrale standardizzato come . Da questa forma si vede che il momento centrale standardizzato ci dà la somma di esima potenza assoluta della variabile casuale standardizzata, subordinato al fatto di essere sopra o sotto la sua media rispettivamente.n⩾3ϕn=ϕ+n+ϕ−nn
Pertanto, per qualsiasi potenza pari otterremo una misura che fornisce valori non negativi, con valori più alti che si verificano se le code della distribuzione della variabile casuale standardizzata sono più grasse. Si noti che questo è un risultato rispetto alla variabile casuale standardizzata , quindi un cambiamento di scala (modifica della varianza) non ha alcun effetto su questa misura. Piuttosto, è effettivamente una misura del grasso delle code, dopo aver standardizzato la varianza della distribuzione. Qualunque di queste quantità potrebbe ragionevolmente essere considerata come una misura di un tipo di "curtosi", con poteri più alti che danno un peso relativo maggiore a valori che sono lontani dalla media.n⩾3
Poiché questo fenomeno si verifica per ogni potere uniforme , la scelta naturale per una misura archetipica della curtosi è definire come la curtosi. Questo è un momento centrale standardizzato inferiore rispetto ai poteri pari superiori ed è naturale esplorare i momenti di ordine inferiore prima di considerare i momenti di ordine superiore. In statistica abbiamo adottato la convenzione di riferirsi a questo momento centrale standardizzato come "kurtosi", poiché è il momento centrale standardizzato più basso che misura questo aspetto della distribuzione. (I poteri pari superiori misurano anche i tipi di curtosi, ma con una sempre maggiore enfasi su valori lontani dalla media.)n⩾3ϕ4
† Questa equazione è ben definita per qualsiasi distribuzione i cui primi due momenti esistono e che ha una varianza diversa da zero. Supponiamo che la distribuzione degli interessi rientri in questa classe per il resto dell'analisi.