Le stime dell'intercetta e della pendenza nella regressione lineare semplice sono indipendenti?

Considera un modello lineare

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

e stime per la pendenza e intercettare e usando i minimi quadrati ordinari. Questo riferimento per una statistica matematica rende l'affermazione che e sono indipendenti (nella loro prova del loro teorema). ß alfa $\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Non sono sicuro di capire il perché. Da

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Questo non significa che e sono correlati? Probabilmente mi manca qualcosa di veramente ovvio qui. $\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Vai allo stesso sito nella seguente sottopagina:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Vedrai più chiaramente che specificano il semplice modello di regressione lineare con il regressore centrato sulla sua media campionaria . E questo spiega perché successivamente affermano che e sono indipendenti. $\hat \alpha$$\hat \beta$

Nel caso in cui i coefficienti siano stimati con un regressore non centrato, la loro covarianza è

Quindi vedi che se usiamo un regressore centrato su , lo chiamiamo , l'espressione di covarianza sopra userà la media di esempio del regressore centrato, , che sarà zero, e così anch'esso sarà zero e gli stimatori dei coefficienti saranno indipendenti.˜ x ˜ ˉ $\bar x$$\tilde x$$\tilde {\bar x}$

Questo post contiene ulteriori informazioni sull'algebra OLS a regressione lineare semplice.