È essere un insieme chiuso un convegno a verifica di ipotesi?

Nel test delle ipotesi statistiche, l'ipotesi nulla spesso assume la forma di (almeno nei libri che ho letto): o $H_0$

\begin{aligned} H_{0} : & θ = θ_{0} \\ H_{0} : & θ \leq θ_{0} \end{aligned}

$\begin{align*} H_0:&\theta=\theta_0\\ H_0:&\theta\le\theta_0 \end{align*}$

H_{0} : θ_{1} \leq θ \leq θ_{2}

$H_0:\theta_1\le\theta\le\theta_2$

È solo una convenzione che i set in sono chiusi? O ci sono altri motivi? $H_0$

hypothesis-testing

— ziyuang
fonte

Il secondo dovrebbe essere . Le due ipotesi null sopra riportate sono diverse. Il primo sta testando al di sotto di un valore, il secondo sta testando tra un intervallo. Non è possibile utilizzare lo stesso test per entrambi.

H_{0}

$H_{0}$

H_{1}

$H_{1}$

— akkp,

Sono abbastanza sicuro che Siyuang stesse dimostrando diverse forme che l'ipotesi nulla può assumere, nel qual caso nessuna di queste ipotesi dovrebbe essere un'ipotesi alternativa (cioè ). Inoltre, in futuro: questo sarebbe stato più appropriato come commento poiché in realtà non stai cercando di rispondere alla domanda.

H_{1}

$H_1$

— David Marx,

Se per aperto / chiuso vuoi dire vs , allora è in un dominio continuo che non fa differenza. Considera un pdf continuo definito nel dominio da a . L'integrale over sarà uguale all'integrale over perché l'integrale su un singolo punto è zero, quindi escludendo qualsiasi insieme numerabile di punti dall'integrando non cambierà affatto il suo valore. $[a,b]$ $(a,b)$ $a$ $b$ $[a,b]$ $(a,b)$

Ora, su una filosofia: in generale, la nostra ipotesi nulla è un'asserzione che alcuni parametri della popolazione sono gli stessi tra i trattamenti o che i parametri rientrano in una tolleranza definita l'uno dall'altro. Poiché stiamo fissando questa tolleranza, ha senso definirla con un set chiuso, dove l'insieme è chiuso fino alla tolleranza massima, ad esempio dove definisce la tolleranza massima consentita. Poiché stiamo parametrizzando la nostra ipotesi rispetto alla tolleranza massima consentita , ha senso utilizzare qui la notazione chiusa. Ma, come descritto sopra, questa ipotesi è funzionalmente equivalente a , ma ora l'interpretazione è un po 'più strana: $H_0: \theta \le \theta_0$ $\theta_0$ $H_0: \theta \lt \theta_0$ $\theta_0$ ora indica il valore minimo di rifiuto del parametro, quindi la tolleranza consentita è infinitamente vicina ma non uguale a . Penso che concorderai sul fatto che generalmente ha più senso ai fini dell'interpretazione definire l'ipotesi nulla rispetto all'intervallo consentito di valori dei parametri. $\theta_0$

Se intendevi qualcosa di diverso per chiuso contro aperto (forse lo intendevi in un senso topologico tecnico che mi mancava), ti preghiamo di elaborare.

— David Marx
fonte

A meno che uno non stia operando in un ambiente bayesiano, non viene mai eseguita alcuna integrazione sul parametro . Questo rende il tuo paragrafo iniziale abbastanza sconcertante: sembra che tu abbia confuso la variabile casuale con il parametro.

θ

$\theta$

— whuber