Un processo stocastico è un processo che si evolve nel tempo, quindi è davvero un modo più fantasioso di dire "serie temporali"?

Poiché molte discrepanze problematiche si manifestano nei commenti e nelle risposte, facciamo riferimento ad alcune autorità.

James Hamilton non definisce nemmeno una serie temporale, ma è chiaro su cosa si sia:

... questo insieme di numeri è solo un possibile risultato del processo stocastico sottostante che ha generato i dati. In effetti, anche se dovessimo immaginare di aver osservato il processo per un periodo di tempo infinito, arrivando alla sequenza { y t } ∞ t = ∞ = { … , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , … , y T , y T + 1 , y T + 2 , $T$ la sequenza infinita { y t } ∞ t = ∞ verrebbe comunque vista come una singola realizzazione da un processo di serie temporale. ...

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Immagina una batteria di ... computer che generano sequenze { y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , … , { y ( I ) t } ∞ t = - ∞ e considera di selezionare l'osservazione associata alla data t da ciascuna sequenza: { y ( 1 $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$ Questo sarebbe descritto come un esempio direalizzazioniIdella variabile casualeYt. ...

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Analisi delle serie storiche , capitolo 3.)

Pertanto, un "processo di serie storiche" è un insieme di variabili casuali indicizzate da numeri interi t .$\{Y_t\}$$t$

Nelle equazioni differenziali stocastiche, Bernt Øksendal fornisce una definizione matematica standard di un processo stocastico generale:

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

$T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

Mettendo insieme le due cose, vediamo che un processo di serie temporali è un processo stocastico indicizzato da numeri interi.

Alcune persone usano "serie temporali" per riferirsi alla realizzazione di un processo di serie storiche (come nell'articolo di Wikipedia ). Nel linguaggio di Hamilton possiamo vedere uno sforzo ragionevole per distinguere il processo dalla realizzazione mediante il suo uso di "processo di serie storiche", in modo che egli possa usare "serie temporali" per riferirsi a realizzazioni (o persino dati).

$\left\{X_t\right\}$

Definire un processo stocastico

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Definire una serie storica

Mentre un processo stocastico ha una definizione matematica cristallina. Una serie temporale è una nozione meno precisa e le persone usano le serie temporali per fare riferimento a due oggetti correlati ma diversi:

1. Come descrive WHuber, un processo stocastico indicizzato da numeri interi o da alcune unità di tempo incrementali regolari che possono, in un certo senso, essere mappate a numeri interi (es. Dati mensili).
2. Una raccolta di dati osservati a intervalli regolari. Questa potrebbe essere la realizzazione di un processo stocastico che è indicizzato da numeri interi. A volte questo è indicato come dati di serie temporali.

Esempio: due lanci di una virata

$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

$\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

La differenza tra un processo stocastico e una serie temporale è in qualche modo simile alla differenza tra un gatto su una tastiera e una risposta su Stack Exchange: i gatti sulle tastiere possono produrre risposte, ma i gatti sulle tastiere non sono risposte. Inoltre, non tutte le risposte sono prodotte da un gatto su una tastiera.

Una serie temporale può essere intesa come una raccolta di coppie tempo-valore-dati-punto. Un processo stocastico invece è un modello matematico o una descrizione matematica di una distribuzione di serie storiche¹. Alcune serie storiche sono una realizzazione di processi stocastici (di entrambi i tipi). Oppure, da un altro punto di vista: posso usare un processo stocastico come modello per generare una serie temporale.

Inoltre, le serie temporali possono anche essere generate in altri modi:

• Possono essere il risultato di osservazioni e sono quindi generati dalla realtà. Mentre posso modellare la realtà come un processo stocastico (potrei anche dire che considero la realtà come un processo stocastico), la realtà non è un processo stocastico allo stesso modo in cui l'interno di una scatola non è un insieme di punti (anche se spesso considerare i due equivalenti nei contesti di modellistica).

• $x=2$

^{¹ Se si tratta di un processo stocastico a tempo discreto. I processi stocastici a tempo continuo sono distribuzioni di funzioni piuttosto che serie temporali.}

Apprezzo tutte le discussioni / i commenti apportati sull'argomento delle serie storiche rispetto al processo stocastico. Ecco la mia comprensione della differenza: le serie temporali sono un fenomeno osservato, registrato come una serie di numeri indicizzati con il tempo di osservazione; è molto probabilmente una serie di osservazioni su un fenomeno della vita reale come i prezzi delle azioni alla Borsa di New York. D'altra parte, il processo stocastico è come sempre inteso come una rappresentazione matematica (non una produzione) delle serie temporali.