Una serie temporale è uguale a un processo stocastico?


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Un processo stocastico è un processo che si evolve nel tempo, quindi è davvero un modo più fantasioso di dire "serie temporali"?


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Una serie temporale è un processo stocastico con un supporto di osservazione a tempo discreto. Un processo stocastico può essere osservato in tempo continuo. (Può anche darsi che le serie siano più correlate alle osservazioni e ai processi stocastici con l'oggetto casuale dietro.)
Xi'an,

Le "serie" implicano una natura discreta o finita in contrapposizione alla natura potenzialmente continua del "processo".
Aksakal,

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Un processo stocastico non deve evolversi nel tempo; potrebbe essere fermo. A mio avviso, la differenza tra il processo stocastico e le serie temporali è un punto di vista. Un processo stocastico è una raccolta di variabili casuali mentre una serie temporale è una raccolta di numeri o una realizzazione o un percorso di campionamento di un processo stocastico. Con ipotesi aggiuntive sul processo, potremmo voler utilizzare l' istogramma dei valori dei numeri delle serie temporali come una stima della densità comune (o funzione di massa) di tutte le variabili casuali che compongono il processo ecc.
Dilip Sarwate,

2
@DilipSarwate, le serie temporali possono essere fisse o meno.
Aksakal,

2
@Aksakal Mi permetto di dissentire. Supponiamo che lo statistico abbia osservato le serie temporali a lunghezza finita È una serie stazionaria? Come puoi dire che lo è (o non lo è)? A meno che non abbiamo a disposizione diverse serie temporali (per gli stessi istanti di tempo) da cui potremmo essere in grado di fare inferenze sul processo stocastico ("Accidenti, gli istogrammi dei valori assunti da X n sono praticamente gli stessi indipendentemente dalla scelta di n " ). Ma una singola sequenza di numeri? Non puoi dire se la serie è stazionaria o no, ma potresti farlo
1,0,1,0,1,0,1
Xnnassumiamo così il modello di processo stocastico sottostante
Dilip Sarwate,

Risposte:


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Poiché molte discrepanze problematiche si manifestano nei commenti e nelle risposte, facciamo riferimento ad alcune autorità.

James Hamilton non definisce nemmeno una serie temporale, ma è chiaro su cosa si sia:

... questo insieme di numeri è solo un possibile risultato del processo stocastico sottostante che ha generato i dati. In effetti, anche se dovessimo immaginare di aver osservato il processo per un periodo di tempo infinito, arrivando alla sequenza { y t } t = = { , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , , y T , y T + 1 , y T + 2 , ...T la sequenza infinita { y t } t = verrebbe comunque vista come una singola realizzazione da un processo di serie temporale. ...

{yt}t=={,y1,y0,y1,y2,,yT,yT+1,yT+2,,},
{yt}t=

Immagina una batteria di ... computer che generano sequenze { y ( 1 ) t } t = - , { y ( 2 ) t } t = - , , { y ( I ) t } t = - e considera di selezionare l'osservazione associata alla data t da ciascuna sequenza: { y ( 1 )I{yt(1)}t=, {yt(2)}t=,, {yt(I)}t=t Questo sarebbe descritto come un esempio direalizzazioniIdella variabile casualeYt. ...

{yt(1),yt(2),,yt(I)}.
IYt

( Analisi delle serie storiche , capitolo 3.)

Pertanto, un "processo di serie storiche" è un insieme di variabili casuali indicizzate da numeri interi t .{Yt}t

Nelle equazioni differenziali stocastiche, Bernt Øksendal fornisce una definizione matematica standard di un processo stocastico generale:

{Xt}tT
(Ω,F,P) Rn

T[0,)[a,b]Rnn1

Mettendo insieme le due cose, vediamo che un processo di serie temporali è un processo stocastico indicizzato da numeri interi.

Alcune persone usano "serie temporali" per riferirsi alla realizzazione di un processo di serie storiche (come nell'articolo di Wikipedia ). Nel linguaggio di Hamilton possiamo vedere uno sforzo ragionevole per distinguere il processo dalla realizzazione mediante il suo uso di "processo di serie storiche", in modo che egli possa usare "serie temporali" per riferirsi a realizzazioni (o persino dati).


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(+1) Penso che l'ultimo paragrafo sia particolarmente importante (anche se sottile). Volevo aggiungere, tuttavia, che l'idea di una "serie temporale continua" è talvolta vista. Occasionalmente la frase viene utilizzata semplicemente per indicare che la variabile stessa è continua, piuttosto che discreta, ma ho anche visto usata per indicare che il tempo viene campionato continuamente , quindi "indicizzato da numeri interi" potrebbe non essere una definizione universalmente accettata. Vedi ad esempio qui , all'interno di Time Series: Theory & Methods di Brockwell & Davis.
Silverfish

1
@Silverfish Apprezzo questi commenti. Alla fine, però, li trovo poco convincenti per la semplice ragione che "serie" è universalmente usata in matematica per riferirsi a una funzione con un dominio numerabile . "Campionamento continuo" non può essere incluso in questo concetto. Non sto mettendo in discussione le tue osservazioni secondo cui alcuni autori potrebbero aver definito i processi stocastici a tempo continuo come "serie" - sto solo dicendo che se questo è il caso, stanno abusando di una terminologia ben consolidata.
whuber

3
Penso che ci sia un certo grado di dibattito "descrizione contro prescrizione" in questo. L'idea di una "serie temporale continua" è sicuramente un uso di minoranza (mi chiedo se questo dipenda dal campo, la mia comprensione limitata è che le persone che elaborano segnali di solito si riferirebbero a un "segnale temporale continuo" piuttosto che a "serie") e personalmente io Sono propenso a concordare sul fatto che la parola "serie" è logicamente più coerente con il campionamento discreto. Volevo solo sottolineare che l'utilizzo delle minoranze non è inaudito, anche tra gli esperti, che potrebbe spiegare una parte della confusione generata.
Silverfish

@Silverfish, quindi, per questa minoranza che considera anche serie temporali continue, il processo stocastico è uguale alle serie temporali?
Codice Papa


1

Definire un processo stocastico

(Ω,F,P)SR

  • ΩS
  • t
    • tTXt
    • ωΩX(ω)X

Definire una serie storica

Mentre un processo stocastico ha una definizione matematica cristallina. Una serie temporale è una nozione meno precisa e le persone usano le serie temporali per fare riferimento a due oggetti correlati ma diversi:

  1. Come descrive WHuber, un processo stocastico indicizzato da numeri interi o da alcune unità di tempo incrementali regolari che possono, in un certo senso, essere mappate a numeri interi (es. Dati mensili).
  2. Una raccolta di dati osservati a intervalli regolari. Questa potrebbe essere la realizzazione di un processo stocastico che è indicizzato da numeri interi. A volte questo è indicato come dati di serie temporali.

Esempio: due lanci di una virata

Ω={ωHH,ωHT,ωTH,ωTT}X1,X2

X1(ω)={1:ω{ωHH,ωHT}0:ω{ωTH,ωTT}

X2(ω)={1:ω{ωHH,ωTH}0:ω{ωHT,ωTT}

{X1,X2}XX(ωHH)=(H,H)


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La differenza tra un processo stocastico e una serie temporale è in qualche modo simile alla differenza tra un gatto su una tastiera e una risposta su Stack Exchange: i gatti sulle tastiere possono produrre risposte, ma i gatti sulle tastiere non sono risposte. Inoltre, non tutte le risposte sono prodotte da un gatto su una tastiera.

Una serie temporale può essere intesa come una raccolta di coppie tempo-valore-dati-punto. Un processo stocastico invece è un modello matematico o una descrizione matematica di una distribuzione di serie storiche¹. Alcune serie storiche sono una realizzazione di processi stocastici (di entrambi i tipi). Oppure, da un altro punto di vista: posso usare un processo stocastico come modello per generare una serie temporale.

Inoltre, le serie temporali possono anche essere generate in altri modi:

  • Possono essere il risultato di osservazioni e sono quindi generati dalla realtà. Mentre posso modellare la realtà come un processo stocastico (potrei anche dire che considero la realtà come un processo stocastico), la realtà non è un processo stocastico allo stesso modo in cui l'interno di una scatola non è un insieme di punti (anche se spesso considerare i due equivalenti nei contesti di modellistica).

  • x=2


¹ Se si tratta di un processo stocastico a tempo discreto. I processi stocastici a tempo continuo sono distribuzioni di funzioni piuttosto che serie temporali.


1
Non è chiaro se si sta facendo una distinzione tra un modello e un set di dati o se si sta tentando di fare qualche altro punto. Non è anche chiaro quale sia il tuo processo stocastico. (Tutto quello che hai detto è che "non è nemmeno" un "processo stocastico a tempo discreto".) Queste incertezze nella tua esposizione potrebbero aggiungere confusione piuttosto che risolverlo.
whuber

@whuber: ho modificato la mia risposta per chiarire alcuni aspetti, ma penso che tu abbia frainteso anche la frase "neanche".
Wrzlprmft,

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Apprezzo tutte le discussioni / i commenti apportati sull'argomento delle serie storiche rispetto al processo stocastico. Ecco la mia comprensione della differenza: le serie temporali sono un fenomeno osservato, registrato come una serie di numeri indicizzati con il tempo di osservazione; è molto probabilmente una serie di osservazioni su un fenomeno della vita reale come i prezzi delle azioni alla Borsa di New York. D'altra parte, il processo stocastico è come sempre inteso come una rappresentazione matematica (non una produzione) delle serie temporali.


I processi stocastici sono più generali delle serie storiche. Ad esempio le catene di Markov sono processi stocastici che non sono serie temporali.
Michael R. Chernick,

1
@Michael Chernick: Markov Chain non è coerente con le definizioni: "un insieme di variabili casuali indicizzate da numeri interi" e "un processo stocastico indicizzato da numeri interi"? Quali parti di queste definizioni Markov Chains non soddisfano o non sei d'accordo con queste definizioni?
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