Esistono equivalenti normalizzati a Skewness e Kurtosis?

Quale sarebbe l'equivalente normalizzato di Skewness che avrebbe la stessa unità dei dati? Allo stesso modo, quale sarebbe l'equivalente normalizzato di Kurtosis? Idealmente, queste funzioni dovrebbero essere lineari rispetto ai dati, il che significa che se tutte le osservazioni dovessero essere moltiplicate per un fattore n, l'asimmetria e la curtosi normalizzate risultanti sarebbero moltiplicate per lo stesso fattore n. Il vantaggio di avere tali equivalenti normalizzati sarebbe quello di essere in grado di sovrapporli su un diagramma standard di tipo box-and-whisker.

skewness kurtosis

— Ismael Ghalimi
fonte

Che domanda divertente!

— Alexis,

Non sono sicuro di quanto sia illuminante illustrarli sui grafici. Il motivo per cui illustriamo le deviazioni standard è che forniscono una misura naturale della dispersione dei dati (se sono normalmente distribuiti): il 65% delle osservazioni si trova all'interno dell'intervallo. Non credo che ci siano interpretazioni visive così naturali per il terzo e il quarto momento.

— Ben Kuhn,

Cosa stai cercando di mostrare sui tuoi dati? Se si tratta di un determinato comportamento qualitativo della distribuzione, potrebbe essere preferibile una trama di violino ? Ma sì, comunque, è una domanda divertente.

— Ben Kuhn,

Si può avere un senso di asimmetria e curtosi guardando un istogramma che mostra la distribuzione del proprio set di dati, ma darà una percezione molto soggettiva di queste misure. Vorrei dipingerli su due scale lineari, una per l'asimmetria parallela all'asse del diagramma box-e-baffo, l'altra ortogonale ad esso. Questo potrebbe essere rappresentato come un riquadro separato sovrapposto al riquadro principale. Più alta è quella casella, più i dati sono distorti. Più ampio, più appuntito (alta curtosi).

— Ismael Ghalimi,

E grazie per il link alla trama del violino. È davvero intelligente.

— Ismael Ghalimi,

Risposte:

Le misure di asimmetria sono volutamente senza unità .

$E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$

$\mu_3=E[(X-\mu)^3]$

$X$ $\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$ .)

Non sono sicuro di quanto utile sarà.

$\sigma$

$\sigma$ $\mu$

La kurtosi segue lo stesso schema: per il momento la curtosi, per ottenere qualcosa che si ridimensiona con i dati , dovresti prendere le radici del quarto momento non standardizzato .

$\sigma$

— Glen_b - Ripristina Monica
fonte

L'asimmetria e la curtosi sono caratteristiche della forma. Quindi, se ti dico che la cosa, una palla, è rotonda, non dovrebbe importare qual è il raggio della cosa. Può essere una pallina o una pallina . D'altra parte, quando dico piccola sfera o un grande cubo mi riferisco alla dimensione dell'oggetto, non la forma.

A questo proposito, la deviazione standard è la dimensione della distribuzione, ecco perché l'asimmetria e la curtosi sono normalizzate dalle dimensioni. Si potrebbe anche dire che la deviazione standard appartiene alla meccanica e l'asimmetria e la curtosi alla geometria. Pertanto, no, non abbiamo bisogno di averli in unità di misura della variabile. Dimensioni e forma sono separate. Una palla grande e una piccola sono ugualmente rotonde , in questo caso le dimensioni non contano :)

— Aksakal
fonte

$R$ $M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$ $M_2 = P\Lambda^2 P^T$

x^{'} = Λ^{- 1} P^{T} x

$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$

M_{2}

$M_2$

M_{2 i j}^{'} = \int_{R} (Λ^{- 1} P^{T} x) (Λ^{- 1} P^{T} x)^{T} | d x |

$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$

= Λ^{- 1} P^{T} (\int_{R} x x^{T} | d x |) P Λ^{- 1}

$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$

= Λ^{- 1} P^{T} P Λ^{2} P^{T} P Λ^{- 1} = I

$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$

Il significato geometrico del secondo momento è "orientamento", il che è giustificato dal fatto che la diagonalizzazione normalizza il secondo momento. Quando l'asimmetria viene calcolata in base a questa normalizzazione, viene chiamata l' asimmetria di Mardia .

— Han JaeSeung StudentOfKyoto
fonte