Covarianza e indipendenza?

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Ho letto dal mio libro di testo che non garantisce che X e Y siano indipendenti. Ma se sono indipendenti, la loro covarianza deve essere 0. Non potrei ancora pensare a nessun esempio adeguato; qualcuno potrebbe fornire uno? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— Maiale volante
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Potresti anche goderti una rapida rassegna del Quartetto di Anscombe , che illustra alcuni dei molti modi diversi in cui una particolare covarianza diversa da zero può essere realizzata da un set di dati bivariato.

— whuber

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La cosa da notare è che la misura della covarianza è una misura della linearità. Il calcolo della covarianza sta rispondendo alla domanda "I dati formano un modello lineare?" Se i dati seguono uno schema lineare, sono quindi dipendenti. MA, questo è solo un modo in cui i dati possono essere dipendenti. È come chiedere "Sto guidando incautamente?" Una domanda potrebbe essere "Stai viaggiando a 25 miglia all'ora oltre il limite di velocità?" Ma questo non è l'unico modo per guidare in modo spericolato. Un'altra domanda potrebbe essere "Sei ubriaco?" ecc. C'è più di un modo per guidare in modo spericolato.

— Adam,

La cosiddetta misura della linearità dà una struttura alla relazione. Ciò che è importante che la relazione possa essere non lineare non è insolito. Generalmente, la covarianza non è zero, è ipotetica. La covarianza indica la grandezza e non un rapporto,

— Subhash C. Davar,

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Esempio semplice: lascia che sia una variabile casuale che è o con probabilità 0,5. Quindi lascia che sia una variabile casuale tale che se , e è casualmente o con probabilità 0,5 se . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

Chiaramente e sono altamente dipendenti (dal momento che conoscere mi permette di conoscere perfettamente ), ma la loro covarianza è zero: entrambi hanno una media zero e $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

O più in generale, prendi qualsiasi distribuzione e qualsiasi tale che per tutte le (cioè una distribuzione congiunta che è simmetrico attorno all'asse ) e avrai sempre zero covarianza. Ma avrai non indipendenza ogni volta che $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ ; cioè, i condizionali non sono tutti uguali al marginale. O idem per simmetria attornoall'asse . $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpillow
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$X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
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Mi piace anche questo esempio. In un caso particolare, un N (0,1) rv e un chi2 (1) rv non sono correlati.

— Ocram,

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E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

@DilipSarwate, grazie, ho modificato la mia risposta di conseguenza. Quando l'ho scritto ho pensato alle variabili normali, per loro zero terzo momento segue da zero media.

— mpiktas,

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L'immagine seguente (fonte Wikipedia ) ha un numero di esempi sulla terza riga, in particolare il primo e il quarto esempio hanno una forte relazione dipendente, ma 0 correlazione (e 0 covarianza).

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— naught101
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Alcuni altri esempi, consideriamo punti dati che formano un cerchio o un'ellisse, la covarianza è 0, ma conoscendo x si restringe y a 2 valori. O i dati in un quadrato o in un rettangolo. Anche i dati che formano una X o una V o un ^ o <o> daranno tutti covarianza 0, ma non sono indipendenti. Se y = sin (x) (o cos) e x copre un multiplo intero di punti allora cov sarà uguale a 0, ma conoscendo x conosci y o almeno | y | nell'ellisse, x, <e> casi.

— Greg Snow
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Che if dovrebbe essere "se x copre un multiplo intero di periodi che iniziano in corrispondenza di un picco o minimo", o più in generale: "Se x copre un intervallo in cui y è simmetrico"

— nought101

potresti spiegare perché la covarianza è zero per un cerchio?

— user1993

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@ user1993, guarda la formula per la covarianza (o correlazione). Quindi pensa al cerchio / ellisse. Sottraendo i mezzi si ottiene un cerchio centrato su (0,0), quindi per ogni punto sul cerchio è possibile riflettere il punto attorno all'asse x, all'asse y e ad entrambi gli assi per trovare un totale di 4 punti che saranno tutti contribuire con lo stesso valore assoluto esatto alla covarianza, ma 2 sarà positivo e 2 sarà negativo dando una somma di 0. Fallo per tutti i punti di un cerchio e sommerai un gruppo di 0 che danno una covarianza totale di 0.

— Greg Snow,