Covarianza e indipendenza?


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Ho letto dal mio libro di testo che non garantisce che X e Y siano indipendenti. Ma se sono indipendenti, la loro covarianza deve essere 0. Non potrei ancora pensare a nessun esempio adeguato; qualcuno potrebbe fornire uno?cov(X,Y)=0


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Potresti anche goderti una rapida rassegna del Quartetto di Anscombe , che illustra alcuni dei molti modi diversi in cui una particolare covarianza diversa da zero può essere realizzata da un set di dati bivariato.
whuber

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La cosa da notare è che la misura della covarianza è una misura della linearità. Il calcolo della covarianza sta rispondendo alla domanda "I dati formano un modello lineare?" Se i dati seguono uno schema lineare, sono quindi dipendenti. MA, questo è solo un modo in cui i dati possono essere dipendenti. È come chiedere "Sto guidando incautamente?" Una domanda potrebbe essere "Stai viaggiando a 25 miglia all'ora oltre il limite di velocità?" Ma questo non è l'unico modo per guidare in modo spericolato. Un'altra domanda potrebbe essere "Sei ubriaco?" ecc. C'è più di un modo per guidare in modo spericolato.
Adam,

La cosiddetta misura della linearità dà una struttura alla relazione. Ciò che è importante che la relazione possa essere non lineare non è insolito. Generalmente, la covarianza non è zero, è ipotetica. La covarianza indica la grandezza e non un rapporto,
Subhash C. Davar,

Risposte:


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Esempio semplice: lascia che sia una variabile casuale che è - 1 o + 1 con probabilità 0,5. Quindi lascia che Y sia una variabile casuale tale che Y = 0 se X = - 1 , e Y è casualmente - 1 o + 1 con probabilità 0,5 se X = 1 .X1+1YY=0X=1Y1+1X=1

Chiaramente e Y sono altamente dipendenti (dal momento che conoscere Y mi permette di conoscere perfettamente X ), ma la loro covarianza è zero: entrambi hanno una media zero eXYYX

E[XY]=(1)0P(X=1)+11P(X=1,Y=1)+1(1)P(X=1,Y=1)=0.

O più in generale, prendi qualsiasi distribuzione e qualsiasi P ( Y | X ) tale che P ( Y = a | X ) = P ( Y = - a | X ) per tutte le X (cioè una distribuzione congiunta che è simmetrico attorno all'asse x ) e avrai sempre zero covarianza. Ma avrai non indipendenza ogni volta che P ( Y | X ) P (P(X)P(Y|X)P(Y=a|X)=P(Y=a|X)Xx ; cioè, i condizionali non sono tutti uguali al marginale. O idem per simmetria attornoall'asse y .P(Y|X)P(Y)y


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XEX=0EX3=0Y=X2XY

cov(X,Y)=EXYEXEY=EX3=0.

Mi piace anche questo esempio. In un caso particolare, un N (0,1) rv e un chi2 (1) rv non sono correlati.
Ocram,

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E[X3]=0E[X]=0E[X3]XN(0,1)X2χ2(1) N(0,1)χ2(1)

@DilipSarwate, grazie, ho modificato la mia risposta di conseguenza. Quando l'ho scritto ho pensato alle variabili normali, per loro zero terzo momento segue da zero media.
mpiktas,

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L'immagine seguente (fonte Wikipedia ) ha un numero di esempi sulla terza riga, in particolare il primo e il quarto esempio hanno una forte relazione dipendente, ma 0 correlazione (e 0 covarianza).

inserisci qui la descrizione dell'immagine


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Alcuni altri esempi, consideriamo punti dati che formano un cerchio o un'ellisse, la covarianza è 0, ma conoscendo x si restringe y a 2 valori. O i dati in un quadrato o in un rettangolo. Anche i dati che formano una X o una V o un ^ o <o> daranno tutti covarianza 0, ma non sono indipendenti. Se y = sin (x) (o cos) e x copre un multiplo intero di punti allora cov sarà uguale a 0, ma conoscendo x conosci y o almeno | y | nell'ellisse, x, <e> casi.


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Che if dovrebbe essere "se x copre un multiplo intero di periodi che iniziano in corrispondenza di un picco o minimo", o più in generale: "Se x copre un intervallo in cui y è simmetrico"
nought101

potresti spiegare perché la covarianza è zero per un cerchio?
user1993

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@ user1993, guarda la formula per la covarianza (o correlazione). Quindi pensa al cerchio / ellisse. Sottraendo i mezzi si ottiene un cerchio centrato su (0,0), quindi per ogni punto sul cerchio è possibile riflettere il punto attorno all'asse x, all'asse y e ad entrambi gli assi per trovare un totale di 4 punti che saranno tutti contribuire con lo stesso valore assoluto esatto alla covarianza, ma 2 sarà positivo e 2 sarà negativo dando una somma di 0. Fallo per tutti i punti di un cerchio e sommerai un gruppo di 0 che danno una covarianza totale di 0.
Greg Snow,
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