Qual è la logica dietro il metodo dei momenti?

Perché in "Metodo dei momenti", equipariamo i momenti del campione ai momenti della popolazione per trovare lo stimatore del punto?

Dov'è la logica dietro questo?

intuition method-of-moments

— utente 31466
fonte

Sarebbe bello se avessimo un fisico nella nostra comunità per affrontare questo.

— Mugen,

@mugen, non vedo alcuna relazione con la fisica.

— Aksakal,

@Aksakal usano anche momenti di funzioni in fisica, ed è sempre bello quando qualcuno fa un parallelo per una migliore interpretazione.

— Mugen,

Come menzionato in questa risposta , la legge dei grandi numeri fornisce una giustificazione (anche se asintotica) per stimare un momento della popolazione per un momento campione, risultando in stimatori

— Glen_b -Reinstate Monica

Non è tutta l'idea di rappresentare i parametri usando i momenti? Come se provassi a stimare il parametro della distribuzione di Poisson, trovando la media (primo momento) puoi usarlo come stimatore per il tuo parametro lambda.

— denis631,

Risposte:

Un campione costituito da $n$ realizzazioni da variabili casuali distribuite in modo identico e indipendente è ergodico. In tal caso, i "momenti campione" sono stimatori coerenti dei momenti teorici della distribuzione comune, se i momenti teorici esistono e sono limitati.

Ciò significa che

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Quindi equiparando il momento teorico al momento del campione corrispondente che abbiamo

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Quindi ( non dipende da ) $\mu_k$ $n$

plim \hat{θ} (n) = plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Quindi lo facciamo perché otteniamo stimatori coerenti per i parametri sconosciuti.

— Alecos Papadopoulos
fonte

cosa significa "plim"? Non ho familiarità con "p" in

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— utente 31466

limite in probabilità @leaf

— Alecos Papadopoulos

Cosa accadrebbe se fosse un limite regolare anziché un limite di probabilità?

— utente 31466

Ci direbbe che lo stimatore diventa una costante, non che tende probabilisticamente a una. Forse dovresti cercare le modalità di convergenza delle variabili casuali, wikipedia ha un'introduzione decente, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos,

@AlecosPapadopoulos Concordato. Mi chiedo quindi se abbia senso mettere qualcosa di semplice come "... e in determinate condizioni su

μ_{k}

$\mu_k$

— Jerome Baum,

Gli econometrici chiamano questo "principio di analogia". Si calcola la media della popolazione come valore atteso rispetto alla distribuzione della popolazione; si calcola lo stimatore come valore atteso rispetto alla distribuzione del campione e risulta essere la media del campione. Hai un'espressione unificata in cui si collega la popolazione , dire

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

o il campione

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

, in modo che

sia un gruppo di funzioni delta e l'integrale (Lebesgue) rispetto a

sia la somma del campione

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

. Se la tua

funzionale

è (debolmente) differenziabile e

converge nel senso appropriato in

, allora è facile stabilire che la stima è coerente, anche se ovviamente è necessario più hoopla per ottenere dire normalità asintotica.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— Stask
fonte

Non ho sentito questo chiamato "principio di analogia", ma in realtà è un modello di analisi econometrica spesso usato: collegare lo stimatore del campione ogni volta che il parametro di popolazione è necessario ma sconosciuto.

— Aksakal,

@Aksakal: "collega lo stimatore del campione ogni volta che il parametro di popolazione è necessario ma sconosciuto." questo approccio non è semplicemente chiamato statistica?

— user603

@ user603: No, no. Esistono altri approcci alternativi e gli stimatori del plu-in possono essere negativi.

— kjetil b halvorsen,