R-quadrato nella regressione quantile

Sto usando la regressione quantile per trovare predittori del 90 ° percentile dei miei dati. Lo sto facendo in R usando il quantregpacchetto. Come posso determinare per la regressione quantile che indicherà quanta variabilità viene spiegata dalle variabili predittive?$r^2$

Quello che voglio veramente sapere: "Qualunque metodo che posso usare per scoprire quanta variabilità viene spiegata?". Livelli di significatività di valori P è disponibile in uscita di comando: summary(rq(formula,tau,data)). Come posso ottenere la bontà di adattamento?

Koenker e Machado descrivono , una misura locale di bontà di adattamento al particolare ( ) quantile. R 1$^{[1]}$$R^1$$\tau$

Sia$V(\tau) = \min_{b}\sum \rho_\tau(y_i-x_i'b)$

Consenti a e essere le stime dei coefficienti per il modello completo e un modello limitato, e lascia che e siano i termini corrispondenti . ~ β (τ) V ~ V$\hat{\beta}(\tau)$$\tilde{\beta}(\tau)$$\hat{V}$$\tilde{V}$$V$

Definiscono la bontà del criterio di adattamento .$R^1(\tau) = 1-\frac{\hat{V}}{\tilde{V} }$

Koenker fornisce il codice per qui ,$V$

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
V <- sum(rho(f$resid, f$tau))

Quindi, se calcoliamo per un modello con solo una intercetta ( - o nello snippet di codice in basso) e quindi un modello senza restrizioni ( ), possiamo calcolare un che è - almeno teoricamente - un po 'come il solito .~ V V R $V$$\tilde{V}$V0$\hat{V}$R1 <- 1-Vhat/V0$R^2$

Modifica: nel tuo caso, ovviamente, il secondo argomento, che verrebbe inserito nel punto in cui si f$tautrova la chiamata nella seconda riga di codice, sarà il valore che tauhai usato. Il valore nella prima riga imposta semplicemente il valore predefinito.

'Spiegare la varianza sulla media' non è proprio quello che stai facendo con la regressione quantile, quindi non dovresti aspettarti di avere una misura davvero equivalente.

Non penso che il concetto di traduca bene in regressione quantile. Puoi definire varie quantità più o meno analoghe, come qui, ma indipendentemente da ciò che scegli, non avrai la maggior parte delle proprietà reali di nella regressione OLS. Devi essere chiaro su quali proprietà hai bisogno e cosa no: in alcuni casi potrebbe essere possibile avere una misura che fa quello che vuoi.R $R^2$$R^2$

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$[1]$ Koenker, R e Machado, J (1999),
Goodness of Fit e relativi processi di inferenza per la regressione quantile,
Journal of American Statistical Association, 94 : 448, 1296-1310

La misura pseudo- suggerita da Koenker e Machado (1999) in JASA misura la bontà dell'adattamento confrontando la somma delle deviazioni ponderate per il modello di interesse con la stessa somma da un modello in cui appare solo l'intercetta. È calcolato come$R^2$

dove è il quantile montato per l'osservazione e è il valore adattato dal solo intercept modello.$\hat y_i =\alpha_{\tau}+\beta_{\tau}x$$\tau$$i$$\bar y=\beta_{\tau}$

$R_1(\tau)$ dovrebbe trovarsi in , dove 1 corrisponderebbe ad un adattamento perfetto poiché il numeratore che consiste nella somma ponderata delle deviazioni sarebbe zero. È una misura locale di adattamento per QRM poiché dipende da , a differenza globale di OLS. Questa è senza dubbio la fonte degli avvertimenti sull'uso: se il tuo modello si adatta alla coda, non c'è garanzia che si adatti bene altrove. Questo approccio potrebbe anche essere utilizzato per confrontare i modelli nidificati.$[0,1]$$\tau$$R^2$

Ecco un esempio in R:

library(quantreg)
data(engel)

fit0 <- rq(foodexp~1,tau=0.9,data=engel)
fit1 <- rq(foodexp~income,tau=0.9,data=engel)

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
R1 <- 1 - fit1$rho/fit0$rho

Questo potrebbe probabilmente essere realizzato in modo più elegante.