L'econometria di un approccio bayesiano alla metodologia di studio degli eventi

Gli studi sugli eventi sono diffusi in economia e finanza per determinare l'effetto di un evento su un prezzo delle azioni, ma sono quasi sempre basati sul ragionamento frequentista. Una regressione OLS - in un periodo di riferimento distinto dalla finestra dell'evento - viene in genere utilizzata per determinare i parametri richiesti per modellare il rendimento normale di un cespite. Uno determina quindi la significatività statistica dei rendimenti cumulativi anomali ( ) sull'asset seguito di un evento durante una finestra dell'evento specificata da a . Un test di ipotesi viene utilizzato per determinare se questi ritorni sono significativi e quindi effettivamente anormali o meno. Così: $\text{CAR}$ $i$ $T_1$ $T_2$

, dove $H_0 : \text{CAR}_i = 0$

e $\text{CAR}_i = \sum_{t=T_1}^{T_2} \text{AR}_{i,t} = \sum_{t=T_1}^{T_2} \left( r_{i,t} -\mathbb{E}[r_{i,t}] \right)$

è il rendimento dell'attività previsto dal modello. $\mathbb{E}[r_{i,t}]$

Se il nostro numero di osservazioni è sufficientemente ampio, possiamo ipotizzare una normalità asintotica della distribuzione dei rendimenti delle attività, ma ciò potrebbe non essere verificato per una dimensione del campione inferiore.

Si può sostenere che, a causa di ciò, gli studi a singola impresa, a singolo evento (come richiesto per esempio nel contenzioso) dovrebbero seguire un approccio bayesiano, poiché l'assunzione di infinite ripetizioni è molto più "lontana dall'essere verificata" che nel caso di più aziende. Tuttavia, l'approccio frequentista rimane una pratica comune.

Vista la scarsa letteratura sull'argomento, la mia domanda è come affrontare al meglio uno studio di eventi - analogo alla metodologia descritta sopra e sintetizzata in MacKinlay, 1997 - usando un approccio bayesiano.

Sebbene questa domanda si presenti nel contesto della finanza aziendale empirica, si tratta in realtà dell'econometria della regressione e dell'inferenza bayesiane e delle differenze di ragionamento alla base di approcci frequentisti e bayesiani. In particolare:

Come dovrei affrontare al meglio la stima dei parametri del modello usando un approccio bayesiano (ipotizzando una comprensione teorica delle statistiche bayesiane, ma poca o nessuna esperienza nell'usarla per la ricerca empirica).
Come testare la significatività statistica, una volta calcolati i rendimenti anomali cumulativi (utilizzando i rendimenti normali del modello)?
Come può essere implementato in Matlab?

bayesian econometrics finance

— Constantin
fonte

(1.) è semplice: usa la regressione lineare bayesiana . (2.) è più complicato, perché i test di significatività non sono una questione bayesiana. L'unica cosa che puoi fare è confrontare la probabilità di diversi modelli e

non è la base di un modello perché

non è un parametro del modello. Qual è lo scopo della

? Quali decisioni vengono prese sulla base di esso?

CAR = 0

$\text{CAR} = 0$

CAR

$\text{CAR}$

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones,

Sto cercando prove a sostegno della mia ipotesi che l'evento esaminato abbia un'influenza sul prezzo delle azioni (nel qual caso la

è diversa da zero, perché viene calcolata durante la finestra dell'evento, rispetto al rendimento normale, che viene calcolato per il periodo di riferimento prima dell'evento). Mi interessa sapere se i dati supportano l'ipotesi che esista effettivamente un

diverso da zero e anche nella sua grandezza. Mi rendo conto che il significato statistico non è davvero una cosa nelle statistiche bayesiane, ma quale interpretazione offre questo metodo? Posso applicare un equivalente test di ipotesi?

C A R

$CAR$

C A R

$CAR$

— Constantin,

Se vuoi sostenere che l'approccio bayesiano è più applicabile a piccoli campioni di dimensione

, allora è inevitabile che prima parlerà troppo forte con un tale campione.

n = 1

$n=1$

— StasK

Non posso usare un precedente non informativo?

— Constantin,

Risposte:

Come menzionato nei commenti, il modello che stai cercando è la regressione lineare bayesiana . E poiché possiamo usare BLR per calcolare la distribuzione predittiva posteriore per qualsiasi momento , possiamo valutare numericamente la distribuzione . $p(r_t|t, \mathcal{D}_\text{ref})$ $t$ $p(\text{CAR}|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$

Il fatto è che non penso che una distribuzione su sia ciò che vuoi davvero. Il problema immediato è che ha probabilità zero. Il problema di fondo è che la "versione bayesiana dei test di ipotesi" sta confrontando i modelli tramite il loro fattore Bayes , ma ciò richiede di definire due modelli concorrenti. E non sono modelli (o almeno non sono modelli senza un gioco di numeri estremamente innaturale). $\text{CAR}$ $p(\text{CAR} = 0|\mathcal{D}_\text{event}, \mathcal{D}_\text{ref})$ $\text{CAR} = 0, \text{CAR} \neq 0$

Da quello che hai detto nei commenti, penso che ciò a cui vuoi veramente rispondere sia

Sono e meglio spiegate dallo stesso modello o da quelli diversi? $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

che ha una chiara risposta bayesiana: definire due modelli

: tutti i dati vengono estratti dallo stesso BLR. Per calcolare la probabilità marginale di questo modello, è necessario calcolare la probabilità marginale di un BLR adatto a tutti i dati. $M_0$ $\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)$
: i dati in e sono tratti da due BLR diversi. Per calcolare la probabilità marginale di questo modello, che ci si adatta a BLRS e in modo indipendente, poi prendere il prodotto dei due BLR marginale (anche se con le stesse iperparametri!) verosimiglianze. $M_1$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$ $p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)$ $\mathcal{D}_\text{ref}$ $\mathcal{D}_\text{event}$

Fatto ciò, puoi quindi calcolare il fattore Bayes

\frac{p (D_{ref}, D_{event} | M_{1})}{p (D_{ref}, D_{event} | M_{0})}

$\frac{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_1)}{p(\mathcal{D}_\text{ref}, \mathcal{D}_\text{event}|M_0)}$

per decidere quale modello è più credibile.

— Andy Jones
fonte

Non penso che un modello separato per il periodo dell'evento sarebbe direttamente applicabile alla mia particolare domanda di ricerca, perché non esiste un altro fattore di rischio che potrei aggiungere per spiegare il ritorno durante la finestra dell'evento. Sto osservando l'evento come un disturbo relativo al normale rendimento del mio modello di valutazione delle attività, quindi il confronto tra due modelli non è realmente fattibile. Non è possibile costruire un intervallo di confidenza per

? In questo modo potrei esaminare se 0 si trova entro un certo intervallo rispetto alla stima ML, no?

C A R

$CAR$

— Constantin,

La variante bayesiana degli intervalli di confidenza è un intervallo credibile e, sì, potresti usare la distribuzione

per costruirne uno. Questo non è un test di ipotesi però.

CAR

$\text{CAR}$

— Andy Jones,

Penso che avrei potuto spiegare male la stessa cosa modello / modelli diversi - sopra, ciò che intendevo per "modello diverso" era "parametri diversi". In

, un set di parametri viene utilizzato per spiegare tutti i dati. In

, un set di parametri viene utilizzato per spiegare i dati di allenamento e un altro per spiegare i dati di test. Questo è un confronto equo perché sebbene

abbia il doppio dei parametri che può adattarsi ai dati (aumentando la sua probabilità marziale), trae il doppio dei parametri dal precedente (che penalizza la sua probabilità marginale).

M_{0}

$M_0$

M_{1}

$M_1$

M_{1}

$M_1$

— Andy Jones,

Ok, ho capito il concetto. Sembra davvero elegante. Come definirei esattamente i due modelli? Potresti consigliare qualche letteratura o concetti correlati da studiare in modo specifico?

— Costantino,

Sebbene sia controverso, esiste una cosa come un test bayesiano nullo o un test di ipotesi acuto. È solo il semplice rapporto di probabilità con un precedente discontinuo su

. Questo è controverso perché la maggior parte dei modelli non fornisce una buona giustificazione per un mix di priori continui e discreti. Gli studi sugli eventi sono una possibile eccezione a quella regola.

{CAR}_{i} = 0

$\text{CAR}_i=0$

— Jay

Non è possibile effettuare uno studio di eventi con una singola azienda.

Sfortunatamente hai bisogno dei dati del panel per qualsiasi studio sugli eventi. Gli studi sugli eventi si concentrano sui rendimenti per i singoli periodi di tempo prima e dopo gli eventi. Senza più osservazioni ferme per un periodo di tempo prima e dopo l'evento, è impossibile distinguere il rumore (variazione specifica dell'impresa) dagli effetti dell'evento. Anche con poche aziende, il rumore dominerà l'evento, come sottolinea StasK.

Detto questo, con un panel di molte aziende è ancora possibile svolgere il lavoro bayesiano.

Come stimare i ritorni normali e anormali

Suppongo che il modello che usi per i rendimenti normali assomigli a un modello di arbitraggio standard. In caso contrario dovresti essere in grado di adattare il resto di questa discussione. Ti consigliamo di aumentare la regressione di ritorno "normale" con una serie di manichini per la data relativa alla data dell'annuncio, : $S$

r_{io t} = α_{io} + γ_{t - S} + r_{m, t}^{T} β_{io} + e_{io t}

$r_{it}=\alpha_{i}+\gamma_{t-S}+r_{m,t}^T\beta_i+e_{it}$

EDIT: dovrebbe essere che sia incluso solo se . Un problema con questo problema con questo approccio è che verranno informati tramite i dati prima e dopo l'evento. Ciò non si associa esattamente agli studi di eventi tradizionali in cui i rendimenti attesi sono calcolati solo prima dell'evento. $\gamma_{s}$ $s>0$ $\beta_i$

Questa regressione ti consente di parlare di qualcosa di simile al tipo di serie CAR che vediamo di solito, in cui abbiamo una trama di rendimenti anormali medi prima e dopo un evento con forse alcuni errori standard attorno ad esso:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

( tratto senza vergogna da Wikipedia )

Avrete bisogno di venire con una distribuzione e la struttura di errore per la 's, probabilmente distribuzione normale, con una certa struttura della varianza-co-varianza. È quindi possibile impostare una distribuzione a priori per , e ed eseguire bayesiana regressione lineare come si è detto sopra. $e_{it}$ $\alpha_{i}$ $\beta_i$ $\gamma_s$

Esame degli effetti dell'annuncio

Alla data dell'annuncio è ragionevole pensare che potrebbero esserci dei ritorni anomali ( ). Nuove informazioni sono state appena rilasciate sul mercato, quindi le reazioni non sono generalmente una violazione di alcun tipo di arbitraggio o teoremi di efficienza. Né tu né io sappiamo quali saranno probabilmente gli effetti dell'annuncio. Non sempre c'è neanche molta guida teorica. Quindi test potrebbe richiedere una conoscenza molto più specifica di quella che abbiamo a nostra disposizione (vedi sotto). $\gamma_0\neq 0$ $\gamma_0=0$

$\gamma_0$

$\gamma_0\geq 0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$ $\gamma_0$

Tuttavia, per le date precedenti e successive all'annuncio, un rigoroso test di ipotesi può svolgere un ruolo importante, poiché questi rendimenti possono essere visti come test di efficienza della forma forte e semi-forte

Test per le violazioni dell'efficienza della forma semi-forte

$\gamma_{s> 0}=0$

I bayesiani sono a disagio con i test di questa forma, , chiamati test "acuti". Perché? Prendiamolo dal contesto finanziario per un secondo. Se ti chiedessi di formare un precedente rispetto al reddito medio dei cittadini americani, probabilmente mi daresti una distribuzione continua,su possibili redditi, forse con un picco di circa$60.000. Se poi hai preso un campione di redditi americani $\gamma_{s}=0$ $\bar x$ $f$ $X=\{x_i\}_{i=1}^n$ $\$60,000$ useresti un fattore Bayes:

P (\bar{X} = $ 60, 000 | X) = \frac{\int_{\bar{X} = $ 60, 000} P (X) f (\bar{X})}{\int_{\bar{X} \neq $ 60, 000} P (X) f (\bar{X})}

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=\dfrac{\int_{\bar{x}=\$60,000} P(X) f(\bar{x})}{\int_{\bar{x}\neq \$60,000} P(X) f(\bar{x})}$

$P(\bar{x}=\$60,000|X)=0$

$\gamma_{s> 0}=0$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_{s>0} =0$ $p$ $\gamma_{s\neq 0} =0$ $1-p$ $\gamma_{s>0}$ $f$

P (γ_{S > 0} = 0 | dati) = \frac{P (dati | γ_{S > 0} = 0) p}{\int_{γ_{S > 0} \neq 0} P (dati | γ_{S > 0}) (1 - p) f (γ_{S > 0})} > 0

$P(\gamma_{s> 0} =0|\text{data}) = \dfrac{P(\text{data}|\gamma_{s> 0}=0)p}{\int_{\gamma_{s> 0}\neq 0} P(\text{data}|\gamma_{s> 0})(1-p)f(\gamma_{s> 0})}>0$

$\gamma_{s>0}=0$

$\gamma_{s> 0}$ $\gamma_{s=0}$ $\gamma_{s>0}$ $\gamma_s=0$ ) da confrontare con i rendimenti effettivi, come ponte tra i metodi bayesiano e frequentista.

Ritorni anormali cumulativi

Tutto finora è stata una discussione di ritorni anormali. Quindi vado rapidamente in CAR:

{AUTO}_{τ} = Σ_{t = 0}^{τ} γ_{t}

$\text{CAR}_\tau=\sum_{t=0}^\tau \gamma_{t}$

$\gamma_0=0$ $\text{CAR}_{t>0}=0$

Come implementare in Matlab

Per una versione semplice di questi modelli, è sufficiente una normale regressione lineare bayesiana. Non uso Matlab ma sembra che ci sia una versione qui . È probabile che funzioni solo con priori coniugati.

Per versioni più complicate, ad esempio il test delle ipotesi precise, probabilmente avrai bisogno di un campionatore di Gibbs. Non sono a conoscenza di soluzioni pronte all'uso per Matlab. È possibile controllare le interfacce per JAGS o BUGS.

— jayk
fonte

$n\geq 1$

L'effetto di una legislazione specifica potrebbe essere impossibile da trovare. Se è una legge applicata a (diciamo) un settore specifico, sarà difficile separare le tendenze del settore dalla legislazione. Suggerirei sicuramente più di 30 aziende, se possibile. Puoi sempre verificare se anteriore e posteriore sono molto diversi. Se il posteriore non si è spostato molto rispetto al precedente, è probabile che la dimensione del campione sia troppo piccola.

— Jayk,

Sei in grado di darmi un riferimento per uno studio di eventi che utilizza variabili fittizie per le date pre / post evento? Finora non sono riuscito a trovare questa metodologia in letteratura. Lo apprezzerei molto!

— Costantinopoli,

Non ne ho visto nessuno, ma penso che il metodo abbia senso nel contesto (con le avvertenze che ho messo su di esso). Un'alternativa sarebbe stimare i parametri nelle date di pre-annuncio e quindi utilizzare il posteriore per generare i rendimenti andando avanti come nell'articolo Brav che ho menzionato sopra.

— Jay