So che la media della somma delle variabili indipendenti è la somma delle medie di ciascuna variabile indipendente. Questo vale anche per le variabili dipendenti?
So che la media della somma delle variabili indipendenti è la somma delle medie di ciascuna variabile indipendente. Questo vale anche per le variabili dipendenti?
Risposte:
L'aspettativa (prendendo la media) è un operatore lineare .
Ciò significa che , tra le altre cose, per due variabili casuali e (per le quali esistono le aspettative ), indipendentemente dal fatto che siano indipendenti o meno.
Possiamo generalizzare (ad esempio per induzione ) in modo che così fintanto che esiste ogni aspettativa .
Quindi sì, la media della somma è uguale alla somma della media anche se le variabili sono dipendenti. Ma nota che questo non vale per la varianza! Quindi, mentre per variabili indipendenti o anche variabili dipendenti ma non correlate , la formula generale è dove è la covarianza delle variabili.V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) C o v
TL; DR:
Supponendo che esista, la media è un valore atteso e il valore atteso è un integrale e gli integrali hanno la proprietà di linearità rispetto alle somme.
TS; DR:
Dato che abbiamo a che fare con la somma delle variabili casuali , ovvero di una funzione di molti di essi, la media della somma è rispetto alla loro distribuzione congiunta (diamo per scontato che tutti i mezzi esistono e sono finite) che indica l'multivariata vettore degli del camper, la loro densità congiunta può essere scritta come e il loro supporto congiunto
Usando la Legge dello Statistico Unconcscious abbiamo l' integrale multiplo E ( Y n ) X n f X ( x ) = f X 1 , . . . , X n ( x 1 , . . . , X n ) D = S X 1 × . . . × S X n
In alcune condizioni di regolarità possiamo scomporre l'integrale multipli in un integrale -iterative:
e usando la linearità degli integrali in cui possiamo scomporre
Per ogni integrale reiterativo possiamo riorganizzare l'ordine di integrazione in modo che, in ciascuno, l'integrazione esterna sia rispetto alla variabile esterna alla densità articolare. Vale a dire,
e in generale
Quando calcoliamo uno a uno l'integrale in ogni integrale espressivo (a partire dall'interno), "integriamo" una variabile e otteniamo in ogni fase la distribuzione "congiunta-marginale" delle altre variabili. Ogni integrante -iterative quindi finirà come .
Riunendo tutto insieme arriviamo a
Ma ora ogni integrale semplice è il valore atteso di ciascuna variabile casuale separatamente, quindi
= n ∑ i = 1 E ( X i )
Si noti che non abbiamo mai invocato l'indipendenza o la non indipendenza delle variabili casuali coinvolte, ma abbiamo lavorato esclusivamente con la loro distribuzione congiunta.