Come si trova la media di una somma di variabili dipendenti?

So che la media della somma delle variabili indipendenti è la somma delle medie di ciascuna variabile indipendente. Questo vale anche per le variabili dipendenti?

L'aspettativa (prendendo la media) è un operatore lineare .

Ciò significa che , tra le altre cose, per due variabili casuali e (per le quali esistono le aspettative ), indipendentemente dal fatto che siano indipendenti o meno.$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$X$$Y$

Possiamo generalizzare (ad esempio per induzione ) in modo che così fintanto che esiste ogni aspettativa .$\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$$\mathbb{E}(X_i)$

Quindi sì, la media della somma è uguale alla somma della media anche se le variabili sono dipendenti. Ma nota che questo non vale per la varianza! Quindi, mentre per variabili indipendenti o anche variabili dipendenti ma non correlate , la formula generale è dove è la covarianza delle variabili.$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) C o v$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$$\mathrm{Cov}$

TL; DR:
Supponendo che esista, la media è un valore atteso e il valore atteso è un integrale e gli integrali hanno la proprietà di linearità rispetto alle somme.

TS; DR:
Dato che abbiamo a che fare con la somma delle variabili casuali , ovvero di una funzione di molti di essi, la media della somma è rispetto alla loro distribuzione congiunta (diamo per scontato che tutti i mezzi esistono e sono finite) che indica l'multivariata vettore degli del camper, la loro densità congiunta può essere scritta come e il loro supporto congiunto Usando la Legge dello Statistico Unconcscious abbiamo l' integrale multiplo E ( Y n ) X n f X ( x ) = f X 1 , . . . , X n ( x 1 , . . . , X n ) D = S X 1 × . . . × S X $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$ .

In alcune condizioni di regolarità possiamo scomporre l'integrale multipli in un integrale -iterative:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

e usando la linearità degli integrali in cui possiamo scomporre

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

Per ogni integrale reiterativo possiamo riorganizzare l'ordine di integrazione in modo che, in ciascuno, l'integrazione esterna sia rispetto alla variabile esterna alla densità articolare. Vale a dire,$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

e in generale

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

Quando calcoliamo uno a uno l'integrale in ogni integrale espressivo (a partire dall'interno), "integriamo" una variabile e otteniamo in ogni fase la distribuzione "congiunta-marginale" delle altre variabili. Ogni integrante -iterative quindi finirà come .$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Riunendo tutto insieme arriviamo a

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Ma ora ogni integrale semplice è il valore atteso di ciascuna variabile casuale separatamente, quindi

= n ∑ i = 1 E ( X i

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Si noti che non abbiamo mai invocato l'indipendenza o la non indipendenza delle variabili casuali coinvolte, ma abbiamo lavorato esclusivamente con la loro distribuzione congiunta.