Derivazione interessante di R al quadrato

Anni fa ho trovato questa identità attraverso la sperimentazione giocando con dati e trasformazioni. Dopo averlo spiegato al mio professore di statistica, è arrivato alla lezione successiva con una prova di una pagina usando la notazione vettoriale e matrice. Purtroppo ho perso il foglio che mi ha dato. (Era il 2007)

Qualcuno è in grado di ricostruire una prova?

Sia i punti dati originali. Definire un nuovo set di punti dati ruotando il set originale di angle ; chiama questi punti . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

Il valore R al quadrato del set di punti originale è uguale al prodotto negativo della derivata rispetto a del log naturale della deviazione standard per ciascuna coordinata del nuovo set di punti, ciascuno valutato in $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
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La derivazione non è un esercizio particolarmente interessante di manipolazione simbolica. Poiché, e

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ e il risultato segue .

Sono curioso di sapere come hai trovato questa equazione, in particolare quale particolare esperimento ha rivelato tale identità.

— Khashaa
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Grazie! Questo in realtà è molto più semplice della sua prova che ricordo. L'identità è nata giocando solo con i dati anni prima; per i calci che ho appena fatto rotazioni, deviazioni standard, derivate, logaritmi, aggiunta, moltiplicazione, ecc. Avevo l'originale r ^ 2 come una linea orizzontale e rappresentavo graficamente qualsiasi funzione creata come funzione di theta. A volte si incrociavano, ma ad angoli "dispari"; a volte mai incrociato. Quindi in qualche modo hanno attraversato a theta = zero. Ho pensato che fosse interessante. Testato con altri dati casuali e ancora conservato. Non ho visto come ha funzionato, ma ho pensato a un'identità pulita.

— Sheppa28,