Test per la cointegrazione tra due serie storiche utilizzando il metodo a due fasi Engle – Granger

Sto cercando di testare la cointegrazione tra due serie storiche. Entrambe le serie hanno una durata settimanale di circa 3 anni.

Sto provando a fare il metodo in due fasi Engle-Granger. Segue il mio ordine delle operazioni.

1. Prova ogni serie storica per unità radice tramite Dickey-Fuller aumentato.
2. Supponendo che entrambi abbiano radici unitarie, quindi trovare l'approssimazione lineare della relazione tramite OLS. Quindi creare una serie di residui.
3. Test dei residui per l'unità radice tramite Dickey-Fuller aumentato.
4. Concludere la cointegrazione (o meno) con il risultato di 3.

Domande:

1. Questo metodo sembra a posto? (Sono un laureando e sto cercando di analizzare i miei dati in modo legittimo, non necessariamente per analizzarli nel modo più rigoroso noto.)
2. Se una serie non può rifiutare l'ipotesi nulla con l'ADF (e quindi non ha una radice unitaria) nel passaggio 1, è ragionevole concludere che le due serie non sono cointegrate perché un set di dati non è stazionario? Non la penso così, ma voglio esserne sicuro.
3. Entrambi i set di dati sembrano "stocastici", quindi mi chiedo se sia appropriato utilizzare OLS per misurare la relazione per ottenere i residui.

Innanzitutto considerare due serie temporali, e x 2 t che entrambi sono I ( 1 ) , cioè entrambe le serie contengono una radice unitaria. Se queste due serie si integrano, allora ci saranno coefficienti, μ e β 2 tali che: $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

definirà un equilibrio. Al fine di testare la cointegrazione utilizzando l'approccio Engle-Granger in 2 fasi, lo faremmo

$\\$ 1) Testare la serie, e x 2 t per radici unitarie. Se entrambi sonoI ( 1 ), procedere al passaggio 2).$x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Eseguire l'equazione di regressione sopra definita e salvare i residui. Mi definisco un nuovo termine “correzione degli .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Testare i residui ( ) per una radice unitaria. Si noti che questo test è lo stesso di un test di non-cointegrazione poiché in ipotesi nulla i residui non sono fissi. Se tuttavia c'è cointegrazione rispetto ai residui dovrebbe essere stazionario. Ricordare che la distribuzione per il test ADF basato su residui non è la stessa delle normali distribuzioni DF e dipenderà dalla quantità di parametri stimati nella regressione statica sopra poiché le variabili adda nella regressione statica sposteranno le distribuzioni DF nella sinistra. I valori critici del 5% per un parametro stimato nella regressione statica con costante e tendenza sono rispettivamente -3,34 e -3,78. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Se rifiuti il ​​null di una radice unitaria nei residui (null di no-cointegrazione), non puoi rifiutare che le due variabili si integrino. $\\$

5) Se si desidera impostare un modello di correzione degli errori e studiare la relazione a lungo termine tra le due serie, si consiglia di impostare un modello ADL o ECM invece poiché è presente un piccolo errore di campionamento collegato a Engle- Registra regressione statica e non possiamo dire nulla sul significato dei parametri stimati nella regressione statica poiché la distribuzione dipende da parametri sconosciuti. Per rispondere alle tue domande: 1) Come visto sopra, il metodo è corretto. Volevo solo sottolineare che i valori critici dei test basati sui residui non coincidono con i soliti valori critici dei test ADF. $\\$

$\\$

(2) Se una delle serie è stazionaria, cioè e l'altra è I ( 1 ), non possono essere cointegrate poiché la cointegrazione implica che condividono tendenze stocastiche comuni e che una relazione lineare tra loro sia stazionaria dal momento dello stocastico le tendenze si annulleranno e quindi produrranno una relazione stazionaria. Per vederlo, considera le due equazioni: $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

Si noti che , x 1 t ∼ I ( 1 ) , x 2 t ∼ I ( 1 ) , u t = β ′ x t ∼ I ( 0 ) , ε 1 t ∼ i . io . d $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

Innanzitutto risolviamo per l'equazione e otteniamo $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

Collega questa soluzione all'equazione per ottenere: $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

Nelle due serie vediamo una tendenza stocastica comune. Possiamo quindi definire un vettore di cointegrazione tale che: $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

$\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$