Quale distribuzione assume il test esatto di Fisher?

Nel mio lavoro ho visto diversi usi del test esatto di Fisher e mi chiedevo quanto si adattava ai miei dati. Osservando diverse fonti ho capito come calcolare la statistica, ma non ho mai visto una spiegazione chiara e formale dell'ipotesi nulla assunta.

Qualcuno può spiegarmi o riferirmi a una spiegazione formale della distribuzione ipotizzata? Sarà grato per una spiegazione in termini di valori nella tabella di contingenza.

Nel caso l'assunzione distributiva è data da due variabili casuali binomiali indipendenti e . L'ipotesi nulla è l'uguaglianza . Ma il test esatto di Fisher è un test condizionale: si basa sulla distribuzione condizionale di dato . Questa distribuzione è una distribuzione ipergeometrica con un parametro sconosciuto: il rapporto di probabilità e quindi l'ipotesi nulla è .X 1 ∼ B i n ( n 1 , θ 1 ) X 2 ∼ B i n ( n 2 , θ 2 ) θ 1 = θ 2 X 1 X 1 + X 2 ψ = θ $2\times 2$$X_1 \sim Bin(n_1, \theta_1)$$X_2 \sim Bin(n_2, \theta_2)$$\theta_1=\theta_2$$X_1$$X_1+X_2$ ψ=$\psi=\frac{\frac{\theta_1}{1-\theta_1}}{\frac{\theta_2}{1-\theta_2}}$$\psi=1$

Questa distribuzione ha la sua pagina Wikipedia .

Per valutarlo con R, puoi semplicemente usare la formula che definisce la probabilità condizionale:

p1 <- 7/27
p2 <- 14/70
x1 <- 7; n1 <- 27
x2 <- 14; n2 <- 56
# 
m <- x1+x2
dbinom(x1, n1, p1)*dbinom(x2, n2, p2)/sum(dbinom(0:m, n1, p1)*dbinom(m-(0:m), n2, p2))
[1] 0.1818838

Oppure usa la dnoncenhypergeomfunzione del MCMCpackpacchetto:

psi <- p1/(1-p1)/(p2/(1-p2)) # this is the odds ratio
MCMCpack::dnoncenhypergeom(x=x1, n1, n2, x1+x2, psi)
[1] 0.1818838

Il cosiddetto test "esatto" di Fisher fa lo stesso tipo di ipotesi sottili che fanno i test .$\chi^2$

• Le due variabili in fase di valutazione per associazione sono variabili polittomicamente tutto-o-niente come gli USA / Europa morti / vivi. Se una o entrambe le variabili sono una semplificazione di un continuum sottostante, l'analisi dei dati categorici non dovrebbe essere intrapresa affatto.
• Non ci sono altre variabili di sfondo rilevanti. Se è la variabile di risultato e è una variabile valutata per l'associazione con , la probabilità che sia identica per ogni soggetto con fissata su . Tabelle di contingenza assumere in senso che non v'è eterogeneità nella distribuzione di che non è rappresentato da . Ad esempio, in uno studio clinico randomizzato che studia l'effetto del trattamento A vs. B sulla probabilità di morte, a$Y$$X$$Y$$Y=y$$X$$x$$Y$$X$$2\times 2$il test della tabella di contengency presuppone che ogni soggetto in trattamento A abbia la stessa probabilità di morte. [Si potrebbe sostenere che questo è un presupposto troppo rigoroso, ma quella posizione non riconosce la perdita di potere derivante da prove di associazione non corrette.]

Il test di Fisher fa un'ipotesi non fatta da test incondizionati di associazione come il test Pearson : che siamo interessati alla distribuzione marginale "attuale" di e , cioè stiamo condizionando le frequenze di categorie di risultati. Questo non è ragionevole per studi prospettici. L'uso del test di Fisher porta al conservatorismo. I suoi valori sono in media troppo grandi, perché il test garantisce che i valori non siano troppo piccoli. In media, i valori di Pearson sono più precisi di quelli di Fisher, anche con frequenze attese molto inferiori a 5 in alcune delle celle.$\chi^2$$X$$Y$$Y$$P$$P$$\chi^2$ $P$