Stazionarietà spaziale intrinseca: non si applica solo ai piccoli ritardi?

Dalla definizione di stazionarietà intrinseca:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

Questa ipotesi è usata ad esempio nel kriging ordinario, invece di assumere una media costante sull'intero spazio, assumiamo che la media sia costante localmente.

Se la media è costante in un quartiere, logicamente ci aspettiamo che la differenza tra due misurazioni vicine tra loro sia zero. Ma poiché la media varia nello spazio, non ci aspettiamo che la differenza di valori lontani tra loro sia zero?

Quindi non dovrebbe essere il presupposto della stazionarietà intrinseca:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$ per $h \to 0$

spatial

— Kasper
fonte

Sì e no.

sì

Ricordo che Andre Journel molto tempo fa ha sottolineato i punti che

I presupposti della stazionarietà sono decisioni prese dall'analista in merito al tipo di modello da utilizzare. Non sono proprietà intrinseche del fenomeno.
Tali ipotesi sono robuste per le partenze perché il kriging (almeno praticato più di 20 anni fa) era quasi sempre uno stimatore locale basato sulla selezione di dati vicini all'interno di quartieri di ricerca in movimento.

Questi punti supportano l'impressione che la stazionarietà intrinseca sia puramente una proprietà locale, suggerendo che in pratica deve essere mantenuta solo all'interno di un tipico quartiere di ricerca, e quindi solo approssimativamente.

No

Tuttavia, matematicamente è vero che le differenze attese devono essere tutte esattamente zero, indipendentemente dalla distanza . In effetti, se tutto ciò che pensavi fosse che le differenze attese sono continue nel ritardo , non assumeresti molto! Quel presupposto più debole equivarrebbe a affermare una mancanza di interruzioni strutturali nell'aspettativa (che non implicherebbe nemmeno una mancanza di interruzioni strutturali nelle realizzazioni del processo), ma per il resto non potrebbe essere sfruttato per costruire le equazioni di Kriging né stimare un variogramma. $|h|$ $h$

Per apprezzare quanto debole possa essere (e praticamente inutile) il presupposto della continuità media, si consideri un processo sulla linea reale per il quale $Z$

Z (X) = U Se X < 0; Z (X) = - U altrimenti

$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$

dove ha una distribuzione normale standard. Il grafico di una realizzazione consisterà in una semiretta in altezza per negativa e un'altra in mezza linea in altezza per positiva . $U$ $u$ $x$ $-u$ $x$

Per ogni ed , $x$ $h$

E (Z (X) - Z (X - h)) = E (Z (X)) - E (Z (X - h)) = E (\pm U) - E (\pm U) = 0 - 0 = 0

$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$

ma quasi sicuramente , dimostrando che quasi tutte le realizzazioni di questo processo sono discontinue a , anche se la media del processo è continua ovunque. $U\ne -U$ $0$

Interpretazione

Diggle e Ribeiro discutono di questo problema [a p. 66]. Stanno parlando di funzioni casuali intrinseche, per le quali gli incrementi sono assunti fissi (non solo debolmente stazionari): $Z(x)-Z(x-h)$

Le funzioni casuali intrinseche abbracciano una classe più ampia di modelli rispetto alle funzioni casuali stazionarie. Per quanto riguarda la previsione spaziale, la principale differenza tra le previsioni ottenute da modelli intrinseci e stazionari è che se si utilizzano modelli intrinseci, la previsione in un punto è influenzata dal comportamento locale dei dati; vale a dire, dalla misurazione osservata in posizioni relativamente vicine a $x$ $x$ , mentre le previsioni dei modelli stazionari sono influenzate anche dal comportamento globale. Un modo per capirlo è ricordare che la media di un processo intrinseco è indeterminata. Di conseguenza, le previsioni derivate da un modello intrinseco presunto tendono a fluttuare attorno a una media locale. Al contrario, le previsioni derivate da un modello stazionario assunto tendono a ritornare alla media globale del modello assunto in aree in cui i dati sono scarsi. Quale di questi due tipi di comportamento è il più naturale dipende dal contesto scientifico in cui vengono utilizzati i modelli.

Commento

$E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$ $0$ $h\to 0$ $Z^\prime$

E ([Z (X) - Z (X - h) - h Z^{'} (X)]^{2}) = O (h^{2})

$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$

$x$ $Z^\prime$

Riferimenti

Peter J. Diggle e Paulo J. Ribeiro Jr., Geostatistica basata sui modelli . Springer (2007)

— whuber
fonte

(+1): Mi piace questa nozione di stazionarietà come ipotesi modellistica, in quanto non può essere veramente valutata.

— Xi'an,

E capisco bene che il kriging ordinario deriva previsioni da un modello intrinseco e semplici previsioni di kriging basate su un modello stazionario globale?

— Kasper,

La mia comprensione della distinzione è stata leggermente diversa. È possibile adottare l'ipotesi intrinseco sia per SK e OK, ma SK inoltre assume un noto media.

— whuber