Estendere il paradosso del compleanno a più di 2 persone

Nel tradizionale paradosso del compleanno, la domanda è "quali sono le probabilità che due o più persone in un gruppo di persone condividano un compleanno". Sono bloccato su un problema che è un'estensione di questo.$n$

Invece di conoscere la probabilità che due persone condividano un compleanno, ho bisogno di estendere la domanda per sapere qual è la probabilità che o più persone condividano un compleanno. Con puoi farlo calcolando la probabilità che due persone non condividano un compleanno e lo sottraggano da , ma non credo di poter estendere questa logica a un numero maggiore di .x = 2 1 $x$$x=2$$1$$x$

Per complicare ulteriormente questo, ho anche bisogno di una soluzione che funzionerà per numeri molto grandi per (milioni) e (migliaia).$n$$x$

Questo è un problema di conteggio: ci sono possibili assegnazioni di b compleanni a n persone. Di questi, sia q ( k ; n , b ) il numero di incarichi per i quali nessun compleanno è condiviso da più di k persone ma almeno un compleanno è effettivamente condiviso da k persone. La probabilità che cerchiamo può essere trovata sommando q ( k ; n , b ) per i valori appropriati di k e moltiplicando il risultato per b - n .$b^n$$b$$n$$q(k; n, b)$$k$$k$$q(k;n,b)$$k$$b^{-n}$

Questi conteggi possono essere trovati esattamente per valori di inferiori a diverse centinaia. Tuttavia, non seguiranno alcuna formula semplice: dobbiamo considerare gli schemi dei modi in cui i compleanni possono essere assegnati . Lo illustrerò al posto di fornire una dimostrazione generale. Sia n = 4 (questa è la più piccola situazione interessante). Le possibilità sono:$n$$n = 4$

• Ogni persona ha un compleanno unico; il codice è {4}.
• Esattamente due persone condividono un compleanno; il codice è {2,1}.
• Due persone hanno un compleanno e le altre due ne hanno un altro; il codice è {0,2}.
• Tre persone condividono un compleanno; il codice è {1,0,1}.
• Quattro persone condividono un compleanno; il codice è {0,0,0,1}.

In generale, il codice è una tupla di conteggi cui k th stipula elemento quanti di nascita distinti sono condivisi da esattamente k persone. Pertanto, in particolare,$\{a[1], a[2], \ldots\}$$k^\text{th}$$k$

Si noti, anche in questo semplice caso, che ci sono due modi in cui si raggiunge il massimo di due persone per compleanno: uno con il codice e un altro con il codice { 2 , 1 } .$\{0,2\}$$\{2,1\}$

Possiamo contare direttamente il numero di possibili incarichi di compleanno corrispondenti a un determinato codice. Questo numero è il prodotto di tre termini. Uno è un coefficiente multinomiale; conta il numero di modi di partizionamento persone in un [ 1 ] gruppi di 1 , una [ 2 ] gruppi di 2 , e così via. Poiché la sequenza di gruppi non ha importanza, dobbiamo dividere questo coefficiente multinomiale per un [ 1 ] ! a [ 2 ] ! $n$$a[1]$$1$$a[2]$$2$$a[1]!a[2]!\cdots$; il suo reciproco è il secondo termine. Infine, allinea i gruppi e assegnali a ciascuno un compleanno: ci sono candidati per il primo gruppo, b - 1 per il secondo e così via. Questi valori devono essere moltiplicati insieme, formando il terzo termine. È uguale al "prodotto fattoriale" b ( a [ 1 ] + a [ 2 ] + ⋯ ) dove b ( m ) significa b ( b - 1 ) ⋯ ( b - m + $b$$b-1$$b^{(a[1]+a[2]+\cdots)}$$b^{(m)}$ .$b(b-1)\cdots(b-m+1)$

Esiste una ricorsione ovvia e abbastanza semplice relativa al conteggio per un modello al conteggio per il modello { a [ 1 ] , ... , a [ k - 1 ] } . Ciò consente un rapido calcolo dei conteggi per valori modesti di n . In particolare, un [ k ] rappresenta un [ k ] date di nascita condivise esattamente da $\{a[1], \ldots, a[k]\}$$\{a[1], \ldots, a[k-1]\}$$n$$a[k]$$a[k]$$k$persone ciascuno. Dopo questi gruppi di k persone sono state tratte dai n persone, che può essere fatto in x modi distinti (ad esempio), resta da contare il numero di modi di raggiungere il modello { un [ 1 ] , ... , un [ k - 1 ] } tra le persone rimanenti. Moltiplicando questo per x si ottiene la ricorsione.$a[k]$$k$$n$$x$$\{a[1], \ldots, a[k-1]\}$$x$

Dubito che esista una formula in forma chiusa per , che si ottiene sommando i conteggi per tutte le partizioni di n il cui termine massimo è uguale a k . Lasciami offrire alcuni esempi:$q(k; n, b)$$n$$k$

Con (cinque possibili compleanni) e n = 4 (quattro persone), otteniamo$b=5$$n=4$

Di conseguenza, ad esempio, la possibilità che tre o più persone su quattro condividano lo stesso "compleanno" (su possibili date) è uguale a ( 80 + 5 ) / 625 = 0,136 .$5$$(80 + 5)/625 = 0.136$

Come altro esempio, prendi e n = 23 . Ecco i valori di q ( k ; 23 , 365 ) per il più piccolo k (solo a sei segni):$b = 365$$n = 23$$q( k;23,365)$$k$

Usando questa tecnica, possiamo facilmente calcolare che esiste circa il 50% di probabilità di (almeno) una collisione a tre vie di compleanno tra 87 persone, una probabilità del 50% di una collisione a quattro vie tra 187 e una probabilità del 50% di una collisione a cinque vie tra 310 persone. L'ultimo calcolo inizia impiegando alcuni secondi (in Mathematica, comunque) perché il numero di partizioni da considerare inizia a crescere. Per sostanzialmente più grandi abbiamo bisogno di un'approssimazione.$n$

Un'approssimazione si ottiene per mezzo della distribuzione di Poisson con aspettativa , perché possiamo vedere un incarico di compleanno come derivante da b variabili di Poisson quasi (ma non del tutto) indipendenti ciascuna con aspettativa n / b : la variabile per ogni dato compleanno possibile descrive quante delle n persone hanno quel compleanno. La distribuzione del massimo è quindi approssimativamente F ( k ) b dove F è il CDF di Poisson. Questo non è un argomento rigoroso, quindi facciamo un piccolo test. L'approssimazione per n = 23 , $n/b$$b$$n/b$$n$$F(k)^b$$F$$n = 23$ dà$b = 365$

Confrontando con il precedente si può vedere che le probabilità relative possono essere scarse quando sono piccole, ma le probabilità assolute sono ragionevolmente ben approssimate a circa lo 0,5%. Test con una vasta gamma di e b suggerisce l'approssimazione è solitamente circa questo bene.$n$$b$

To wrap up, let's consider the original question: take $n = 10,000$ (the number of observations) and $b = 1\,000\,000$ (the number of possible "structures," approximately). The approximate distribution for the maximum number of "shared birthdays" is

(This is a fast calculation.) Clearly, observing one structure 10 times out of 10,000 would be highly significant. Because $n$ and $b$ are both large, I expect the approximation to work quite well here.

Incidentally, as Shane intimated, simulations can provide useful checks. A Mathematica simulation is created with a function like

simulate[n_, b_] := Max[Last[Transpose[Tally[RandomInteger[{0, b - 1}, n]]]]];

which is then iterated and summarized, as in this example which runs 10,000 iterations of the $n = 10000$, $b = 1\,000\,000$ case:

Tally[Table[simulate[10000, 1000000], {n, 1, 10000}]] // TableForm

Its output is

2 8503

3 1493

4 4

These frequencies closely agree with those predicted by the Poisson approximation.

It is always possible to solve this problem with a monte-carlo solution, although that's far from the most efficient. Here's a simple example of the 2 person problem in R (from a presentation I gave last year; I used this as an example of inefficient code), which could be easily adjusted to account for more than 2:

birthday.paradox <- function(n.people, n.trials) {
    matches <- 0
    for (trial in 1:n.trials) {
        birthdays <- cbind(as.matrix(1:365), rep(0, 365))
        for (person in 1:n.people) {
            day <- sample(1:365, 1, replace = TRUE)
            if (birthdays[birthdays[, 1] == day, 2] == 1) {
                matches <- matches + 1
                break
            }
            birthdays[birthdays[, 1] == day, 2] <- 1
        }
        birthdays <- NULL
    }
    print(paste("Probability of birthday matches = ", matches/n.trials))
}

This is an attempt at a general solution. There may be some mistakes so use with caution!

First some notation:

$P(x,n)$ be the probability that $x$ or more people share a birthday among $n$ people,

$P(y|n)$ be the probability that exactly $y$ people share a birthday among $n$ people.

Notes:

1. Abuse of notation as $P(.)$ is being used in two different ways.

2. By definition $y$ cannot take the value of 1 as it does not make any sense and $y$ = 0 can be interpreted to mean that no one shares a common birthday.

Then the required probability is given by:

$P(x,n) = 1 - P(0|n) - P(2|n) - P(3|n) .... - P(x-1|n)$

Now,

$P(y|n) = {n \choose y} (\frac{365}{365})^y \ \prod_{k=1}^{k=n-y}(1 -\frac{k}{365})$

Here is the logic: You need the probability that exactly $y$ people share a birthday.

Step 1: You can pick $y$ people in ${n \choose y}$ ways.

Step 2: Since they share a birthday it can be any of the 365 days in a year. So, we basically have 365 choices which gives us $(\frac{365}{365})^y$.

Step 3: The remaining $n-y$ people should not share a birthday with the first $y$ people or with each other. This reasoning gives us $\prod_{k=1}^{k=n-y}(1 -\frac{k}{365})$.

You can check that for $x$ = 2 the above collapses to the standard birthday paradox solution.