Sufficienza o Insufficienza


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Considera un campione casuale cui sono tra le variabili casuali di dove . Controlla se è una statistica sufficiente per .X i B e r n o u l l i ( p ) p ( 0 , 1 ) T ( X ) = X 1 + 2 X 2 + X 3 p{X1,X2,X3}XioBernoullio(p)p(0,1)T(X)=X1+2X2+X3p

Innanzitutto, come possiamo trovare la distribuzione per ? O dovrebbe essere suddiviso in e quindi seguirà ? Non credo perché si noti che tutte le variabili non sono indipendenti qui.X 1 + X 2 + X 2 + X 3 B i n ( 4 , p )(X1+2X2+X3)X1+X2+X2+X3Bion(4,p)

In alternativa, se utilizzo la condizione di fattorizzazione considerando semplicemente il pmf congiunto di allora dove .f ( X 1 , X 2 , X 3 ) = p x 1 + x 2 + x 3 ( 1 - p ) 3 - ( x 1 + x 2 + x 3 ) = - t ( x ) ] p - x 2 ( 1(X1,X2,X3) t ( x ) = x 1 + 2 x 2 + x 3f(X1,X2,X3)=px1+x2+x3(1p)3(x1+x2+x3)=[pt(x)(1p)3t(x)]px2(1p)x2t(x)=x1+2x2+x3

Ciò dimostra che non è sufficiente.T

E se volessi seguire la definizione e volessi applicare per verificare se questo rapporto è indipendente da ? Quindi ho bisogno di sapere la distribuzione di . Cos'è quindi la distribuzione di ? pgT(X)=X1+2X2+X3f(X|p)g(T(X)|p)pgT(X)=X1+2X2+X3


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Suggerimento: non è necessario conoscere la distribuzione completa di . Considera, ad esempio, il caso : qual è la distribuzione di probabilità condizionale di ? T ( X ) = 2 ( X | T ( X ) = 2 )T(X)T(X)=2(X|T(X)=2)
whuber

Se allora . Quindi che dipende da , giusto? ( X 1 , X 2 , X 3 ) { ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 ) } P ( X | T ( X ) = 2 ) = p 2 ( 1 - p ) + p ( 1 - p ) 2T(X)=2(X1,X2,X3){(1,0,1),(0,1,0)}pP(X|T(X)=2)=p2(1-p)+p(1-p)2=p(1-p)p
Landon Carter,

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Questa è l'idea giusta, ma non vedo perché stai aggiungendo le due probabilità. non è un vettore ? (Se vuoi, puoi usare lo stesso tipo di calcoli per trovare la distribuzione completa di (può raggiungere solo i valori ), ma non è più necessario, vero? ))XT(X)0,1,2,3,4
whuber

Si, come no. Grazie! Quindi, una volta dimostrato che questo rapporto non è indipendente da per almeno una volta il campione, allora abbiamo finito! Grazie. E FELICE ANNO NUOVO :)p
Landon Carter il

è un vettore, ma soprattutto X = ( X 1 , X 2 , X 3 ) e la probabilità P ( X | T ( X ) = 2 ) = P ( T ( X ) = 2 ) = P ( X = ( 1 , 0 , 1 ) ) + P ( X = ( 0XX=(X1,X2,X3) . Perfavore, correggimi se sbaglio. P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))
Landon Carter,

Risposte:


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Ho avuto una discussione con "whuber" e forse ho avuto un suggerimento (corretto?) Per esaminare qualsiasi punto del campione: valutare in quel punto di campionamentoxe controlla se questo rapporto è indipendente dal parametro, in questo casop.P(X=X)P(T(X)=T(X))Xp

Quindi prendi quindi T ( 1 , 0 , 1 ) = 2 . Quindi valutiamo P ( X = ( 1 , 0 , 1 ) )X=(1,0,1)T(1,0,1)=2 . Ora,T(X)=2 iff X{(1,0,1),(0,1,0)}. A causa della proprietà iid,P(X=(1,0,1))=p2(1-p)P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)

T(X)=2 se e solo se X{(1,0,1),(0,1,0)}.
Anche P ( T ( X ) = 2 ) = P ( X = ( 1 , 0 , 1 ) ) + P ( X = ( 0 , 1 , 0 ) ) = p
P(X=(1,0,1))=p2(1-p) e P(X=(0,1,0))=p(1-p)2.
P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).

Quindi che dipende chiaramente dap, e quindiTnon è una statistica sufficiente.

P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)=p2(1-p)p(1-p)=p
pT
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