Sufficienza o Insufficienza

Considera un campione casuale cui sono tra le variabili casuali di dove . Controlla se è una statistica sufficiente per . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

Innanzitutto, come possiamo trovare la distribuzione per ? O dovrebbe essere suddiviso in e quindi seguirà ? Non credo perché si noti che tutte le variabili non sono indipendenti qui. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

In alternativa, se utilizzo la condizione di fattorizzazione considerando semplicemente il pmf congiunto di allora dove . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Ciò dimostra che non è sufficiente. $T$

E se volessi seguire la definizione e volessi applicare per verificare se questo rapporto è indipendente da ? Quindi ho bisogno di sapere la distribuzione di . Cos'è quindi la distribuzione di ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
fonte

Suggerimento: non è necessario conoscere la distribuzione completa di . Considera, ad esempio, il caso : qual è la distribuzione di probabilità condizionale di ?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Se allora . Quindi che dipende da , giusto?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter,

Questa è l'idea giusta, ma non vedo perché stai aggiungendo le due probabilità. non è un vettore ? (Se vuoi, puoi usare lo stesso tipo di calcoli per trovare la distribuzione completa di (può raggiungere solo i valori ), ma non è più necessario, vero? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Si, come no. Grazie! Quindi, una volta dimostrato che questo rapporto non è indipendente da per almeno una volta il campione, allora abbiamo finito! Grazie. E FELICE ANNO NUOVO :)

p

$p$

— Landon Carter il

Sì

è un vettore, ma soprattutto

e la probabilità

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

. Perfavore, correggimi se sbaglio.

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter,

Ho avuto una discussione con "whuber" e forse ho avuto un suggerimento (corretto?) Per esaminare qualsiasi punto del campione: valutare in quel punto di campionamentoe controlla se questo rapporto è indipendente dal parametro, in questo caso. $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Quindi prendi quindi . Quindi valutiamo $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ . Ora,A causa della proprietà iid, $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 se e solo se X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

Anche

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) e P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Quindi che dipende chiaramente da, e quindinon è una statistica sufficiente.

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
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