Condizioni affinché lo stimatore M converga nella media reale

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Dati i campioni di una distribuzione gaussiana e lo stimatore M, , quali proprietà su sono sufficienti a garantire ? È essendo strettamente convessa e strettamente crescente sufficienti? $X_1,...,X_n \sim N(\mu,\sigma)$ $\mu_m = \underset{a}{\operatorname{argmin}} \sum\rho(|X_i-a|)$ $\rho$ $\mu_m \rightarrow \mu$ $\rho$

estimation

— bruco
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Dal momento che puoi prendere e quindi è la media del campione, ciò significa che potrebbe anche non essere strettamente convesso, ma aumentare rigorosamente sì, quindi ... Vorrei mettere sia strettamente convesso o strettamente crescente, entrambi sembra essere sufficiente, anche se deve ancora dimostrarlo. La convessità intuitivamente rigorosa garantisce un minimo globale unico, per aumentare rigorosamente è l'assunto di gaussianità che conta.

ρ (x) = x

$\rho(x) = x$

μ_{m}

$\mu_m$

— Dmitrij Celov,

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Il documento Asymptotics per minimizzatori di processi convessi di Hjort e Pollard può aiutare qui, anche se non è specializzato nelle distribuzioni gaussiane e considera una forma più generale di funzione di contrasto, vale a dire , sebbene la loro notazione sia . Oltre alla convessità di in , richiedono un'espansione di in attorno a , in un certo senso correlata alla distribuzione dei dati. Quindi, non è semplice come dire che è convesso o crescente, ma forse se si limita il teorema alle distribuzioni gaussiane e $\rho(x,a)$ $g(y,t)$ $g$ $t$ $g$ $t$ $\theta_0$ $\rho$ $g$ per avere il modulo specificato, è possibile ottenere un set di condizioni ancora più ordinato. Riscriverò qui il loro teorema per completezza, leggermente parafrasato:

Supponiamo di avere

$Y,Y_{1},Y_{2},\ldots$ iid dalla distribuzione $F$
Parametro di interesse $\theta_{0}=\theta(F)\in\cal{R}^{p}$
$\theta_{0}\in\arg\min_{t\in\cal{R}^{p}}\mathbb{E} g(Y,t)$ , dove è convesso in . $g(y,t)$ $t$
Abbiamo una "debole espansione" di in intorno a : per una con zero medio sotto e per una matrice definita positiva . $g(y,t)$ $t$ $\theta_{0}$ $g (y, θ_{0} + t) - g (y, θ_{0}) = D (y)^{T} t + R (y, t),$ $g(y,\theta_{0}+t)-g(y,\theta_{0})=D(y)^{T}t+R(y,t),$ $D(y)$ $F$ $E R (Y, t) = \frac{1}{2} t^{T} J t + o ({| t |}^{2}), as t \to 0$ $\mathbb{E} R(Y,t)=\frac{1}{2}t^{T}Jt+o(\left|t\right|^{2}),\mbox{ as }t\to0$ $J$
$\mbox{Var}[ R(Y,t) ]=o(\left|t\right|^{2})$ come . $t\to0$
$D(Y)$ ha una matrice di covarianza finita . $K=\int D(y)D(y)^{T}\, dF(y)$

ALLORA qualsiasi stimatore è -consistente per e asintoticamente normale con $\hat{\theta}_{n}\in\arg\min_{\theta\in\cal{R}^{p}}\sum_{i=1}^{n}g(Y_{i},t)$ $\sqrt{n}$ $\theta_{0}$

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) \overset{d}{\to} N_{p} (0, J^{- 1} K J^{- 1}) .

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_{n}-\theta_{0}\right)\stackrel{d}{\rightarrow}\mathcal{N}_{p}(0,J^{-1} K J^{-1}).$

— DavidR
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Questa non sarà una risposta, poiché ridurrà il tuo problema a un altro, ma penso che potrebbe essere utile. La tua domanda è fondamentalmente sulla coerenza dello stimatore M. Quindi prima possiamo guardare i risultati generali. Ecco il risultato del libro di van der Vaart (teorema 5.7, pagina 45):

Teorema Sia funzioni casuali e sia una funzione fissa di tale che per ogni $M_n$ $M$ $\theta$ $\varepsilon>0$

sup_{θ \in Θ} | M_{n} (θ) - M (θ) | \overset{P}{\to} 0,

$\sup_{\theta\in\Theta}|M_n(\theta)-M(\theta)|\xrightarrow{P}0,$

sup_{θ : d (θ, θ_{0}) \geq ε} M (θ) < M (θ_{0}) .

$\sup_{\theta:d(\theta,\theta_0)\ge\varepsilon} M(\theta)<M(\theta_0).$

Quindi qualsiasi sequenza di stimatori con converge in probabilità in $\hat\theta_n$ $M_n(\hat\theta_n)\ge M_n(\theta_0)-o_P(1)$ $\theta_0$

Nel tuo caso , e $\theta_0=\mu$ $M(\theta)=E\rho(|X-\theta|)$ $M_n(\theta)=\frac{1}{n}\sum \rho(|X_i-\theta|)$

La condizione chiave qui è la convergenza uniforme. Nella pagina 46 dice van der Vaart

che per le medie nel tuo caso questa condizione equivale a un insieme di funzioni ( nel tuo caso) essendo Glivenko -Canteli . Un semplice insieme di condizioni sufficienti è che sia compatto, che le funzioni siano continue per ogni e che> siano dominate da una funzione integrabile. $\{m_\theta, \theta\in\Theta\}$ $m_\theta=\rho(|x-\theta|)$ $\Theta$ $\theta\to m_\theta(x)$ $x$

In Wooldridge questo risultato è formulato come teorema chiamato Uniform Weak Law of Large Numbers, pagina 347 (prima edizione), teorema 12.1. Aggiunge solo requisiti di misurabilità a ciò che afferma van der Vaart.

Nel tuo caso puoi tranquillamente scegliere per qualche , quindi devi mostrare che esiste una funzione tale che $\Theta=[\mu-C,\mu+C]$ $C$ $b$

| ρ (| x - θ |) | \leq b (x)

$|\rho(|x-\theta|)|\le b(x)$

per tutti , in modo tale che . La teoria delle funzioni convesse potrebbe essere di aiuto in questo caso, dal momento che in pratica si può prendere $\theta\in\Theta$ $Eb(X)<\infty$

b (x) = sup_{θ \in Θ} | ρ (| x - θ |) | .

$b(x)=\sup_{\theta\in\Theta}|\rho(|x-\theta|)|.$

Se questa funzione ha delle belle proprietà, allora sei a posto.

— mpiktas
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