Stimare la massa di frutta in un sacchetto solo dai totali correlati?

Un istruttore della mia università ha posto una domanda del genere (non per i compiti da quando la lezione è finita e io non ci ho partecipato). Non riesco a capire come affrontarlo.

La domanda riguarda 2 buste contenenti ciascuna un assortimento di diversi tipi di frutta:

La prima busta contiene i seguenti frutti selezionati casualmente:

+ ------------- + -------- + --------- +
| diametro cm | massa g | marcio? |
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17,28 | 139.08 | 0 |
| 6.57 | 91,48 | 1 |
| 7.12 | 74.23 | 1 |
| 16.52 | 129,8 | 0 |
| 14.58 | 169,22 | 0 |
| 6,99 | 123,43 | 0 |
| 6,63 | 104,93 | 1 |
| 6.75 | 103,27 | 1 |
| 15,38 | 169.01 | 1 |
| 7.45 | 83,29 | 1 |
| 13.06 | 157,57 | 0 |
| 6,61 | 117,72 | 0 |
| 7.19 | 128,63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

La seconda busta contiene 6 frutti scelti a caso dallo stesso negozio della prima busta. La somma dei loro diametri è di 64,2 cm e 4 sono marci.

Fornire una stima per la massa del secondo sacco.

Vedo che sembrano esserci due diversi tipi di frutta con diametri e masse normalmente distribuiti, ma mi sono perso su come procedere.

Cominciamo tracciando i dati e dandoli un'occhiata. Si tratta di una quantità molto limitata di dati, quindi sarà in qualche modo ad hoc con molte ipotesi.

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

Quindi questi sono i dati, i punti rossi rappresentano i frutti marci:

Hai ragione nel dare per scontato che sembrano esserci due tipi di frutti. Le ipotesi che faccio sono le seguenti:

• Il diametro divide i frutti in due gruppi
• I frutti con un diametro maggiore di 10 sono in un gruppo, altri nel gruppo più piccolo.
• C'è solo un frutto marcio nel grande gruppo di frutta. Supponiamo che se un frutto si trova nel grande gruppo, quindi essere marcio non influisce sul peso. Questo è essenziale, poiché abbiamo un solo punto dati in quel gruppo.
• Se il frutto è un piccolo frutto, il marcio influisce sulla massa.
• Supponiamo che le variabili diam e mass siano normalmente distribuite.

Poiché si ritiene che la somma del diametro sia di 64,2 cm, è molto probabile che due frutti siano grandi e quattro piccoli. Ora ci sono 3 casi per il peso. Vi sono 2, 3 o 4 piccoli frutti marci ( un grosso frutto marcio non influenza la massa per ipotesi ). Quindi ora puoi ottenere limiti sulla tua massa calcolando questi valori.

Possiamo stimare empiricamente la probabilità che il numero di piccoli frutti sia marcio. Usiamo le probabilità per ponderare le nostre stime della massa, a seconda del numero di frutti marci:

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

Dandoci una stima finale di 691.5183g . Penso che devi fare la maggior parte delle ipotesi che ho fatto per giungere a una conclusione, ma penso che potrebbe essere possibile farlo in un modo più intelligente. Inoltre campiono empiricamente per ottenere la probabilità del numero di piccoli frutti marci, che è solo pigrizia e può essere fatto "analiticamente".

Proporrei il seguente approccio:

1. Genera tutte le 6 tuple che soddisfano le condizioni su 4 marci. Sono .${6\choose 4}{7\choose 2}$
2. Seleziona dalle tuple generate solo quelle che soddisfano la condizione sul diametro.
3. Calcola il peso medio delle tuple selezionate (media aritmetica normale).

Tutto ciò è gestibile da una semplice sceneggiatura.

Approcci multipli includono, dal più semplice al complesso,

1. 6 (massa media)
2. 6 (volume medio) (densità media)
3. 4 (massa media marcio) + 2 (massa media non marcio)
4. 4 ((volume medio marcio) + 2 (volume medio non marcio)) (densità media)
5. 4 (volume medio marcio) (densità media marcio) + 2 (volume medio non marcio) (densità media non marcio)

. . .

metodi combinatori

Gli approcci sono disposti in ordine di semplicità di calcolo, non in ordine di alcun approccio migliore o del tutto positivo. La scelta dell'approccio da utilizzare dipende dalle caratteristiche della popolazione conosciute o presunte. Ad esempio, se le masse di frutta nella popolazione del negozio sono normalmente distribuite e indipendenti dai diametri e dallo stato di marciume, si potrebbe usare il primo approccio più semplice senza alcun vantaggio (o addirittura svantaggi dell'errore di campionamento di più variabili) dell'uso di approcci più complessi . Se non le variabili casuali distribuite in modo identico indipendente, una scelta più complessa a seconda delle informazioni conosciute o presunte sulla popolazione potrebbe essere migliore.