Aspettativa su prodotti di ordine superiore di distribuzioni normali

Ho due variabili normalmente distribuite e con zero medio e matrice di covarianza . Sono interessato a provare a calcolare il valore di in termini di voci di . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

Ho usato la legge della probabilità totale per ottenere ma non sono sicuro di cosa si riduca l'aspettativa interiore. C'è un altro metodo qui? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Grazie.

Modifica: le variabili sono anche multivariate normalmente distribuite.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
fonte

Do e godono di una bivariata distribuzione normale anche? (Il solo dire che e sono normali con la matrice di covarianza non è abbastanza per concludere che la distribuzione congiunta è normale bivariata).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate,

Per l'applicazione specifica che ho in mente, e hanno una distribuzione normale bivariata, secondo il teorema del limite centrale multivariato. Ho dimenticato di menzionarlo nel mio post originale.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK,

@AGK se vuoi chiarire il tuo post, c'è un pulsante "modifica" che ti consente di apportare modifiche. È meglio per i futuri lettori che non dovranno quindi cercare le informazioni chiave nei commenti sotto la domanda.

— Silverfish

L'aspettativa è chiaramente proporzionale al prodotto dei fattori di scala al quadrato . La costante di proporzionalità si ottiene standardizzando le variabili, che riduce alla matrice di correlazione con correlazione $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ . $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Supponendo la normalità bivariata, quindi secondo l'analisi su https://stats.stackexchange.com/a/71303 possiamo cambiare le variabili in

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

dove ha una distribuzione normale bivariata standard (non correlata) e dobbiamo solo calcolare $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

dove il valore preciso della costante non ha importanza. ( è il residuo dopo aver regredito contro ). Usando le aspettative univariate per la distribuzione normale standard $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

e notando che e sono rese indipendenti $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Moltiplicando questo per ottiene $\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

Lo stesso metodo si applica per trovare l'aspettativa di qualsiasi polinomio in , perché diventa un polinomio in $(X_1,X_2)$ e che, quando espanso, è un polinomio nelleindipendentivariabili normalmente distribuitee. A partire dal $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 K}) = E (Y^{2 K}) = \frac{(2 K)!}{K! 2^{K}} = π^{- 1 / 2} 2^{K} Γ (K + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

per integrale (con tutti i momenti dispari pari a zero per simmetria) possiamo derivare $k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} Σ_{io = 0}^{q} ρ^{2 io} (1 - ρ^{2})^{q - io} \frac{(2 p + 2 io)!}{(2 io)! (p + io)! (q - io)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(con tutte le altre aspettative di monomi pari a zero). Questo è proporzionale a una funzione ipergeometrica (quasi per definizione: le manipolazioni coinvolte non sono profonde o istruttive),

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

$\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
fonte

Grazie per la risposta dettagliata! Sto anche pensando a domande correlate con altri polinomi, quindi questa è una struttura davvero utile. È una trasformazione molto intelligente che non avevo mai visto prima. Freddo!

— AGK

Per aiutare la tua indagine, ho fornito i dettagli per i polinomi generali. Mi sono divertito, quando originariamente scrivevo questa risposta, a rendermi conto di aver appreso questa trasformazione dal manuale di statistiche elementari di Friedman, Pisani e Purves: lo insegniamo alle matricole del college!

— whuber