Sia X, Y e Z tre variabili casuali indipendenti. Se X / Y ha la stessa distribuzione di Z, è vero che X ha la stessa distribuzione di YZ?
Sia X, Y e Z tre variabili casuali indipendenti. Se X / Y ha la stessa distribuzione di Z, è vero che X ha la stessa distribuzione di YZ?
Risposte:
Può succedere. Ad esempio, se , Y e Z sono variabili indipendenti di Rademacher , ovvero possono essere 1 o -1 con uguale probabilità. In questo caso X / Y è anche Rademacher, così ha la stessa distribuzione di Z , mentre Y Z è Rademacher ha così la stessa distribuzione di X .
Ma non accadrà in generale. Finché esistono i mezzi, le condizioni necessarie (ma non sufficienti) per per avere la stessa distribuzione di Z , e per Y Z per avere la stessa distribuzione di X , sarebbero: E ( Z ) = E ( X Y - 1 ) = E ( X ) E ( Y - 1 ) E ( X ) = E ( Y Z ) = E
Le seconde uguaglianze seguite dall'indipendenza. Sostituendo dà:
Se allora 1 = E ( Y ) E ( Y - 1 ) , o equivalentemente, purché E ( Y ) ≠ 0 ,
Invece variabile Bernouilli, o uno tradotto solo leggermente, quindi è molto vicino a 0 con probabilità metà. Si noti che nell'esempio di Rademacher non ci sono stati problemi perché tutte e tre le aspettative erano zero, si noti inoltre che questa condizione non è sufficiente.)
Se vuoi una morale per questo racconto, prova a giocare con le variabili di Bernouilli ridimensionate e tradotte (che include le variabili di Rademacher). Possono essere un modo semplice per costruire esempi e controesempi. Aiuta ad avere meno valori nei supporti in modo che le distribuzioni di varie funzioni delle variabili possano essere facilmente elaborate manualmente.