Se X / Y ha la stessa distribuzione di Z, è vero che X ha la stessa distribuzione di YZ?

Sia X, Y e Z tre variabili casuali indipendenti. Se X / Y ha la stessa distribuzione di Z, è vero che X ha la stessa distribuzione di YZ?

probability ratio

— user2808118
fonte

No. Considera il caso in cui

X

$X$ e

Y

$Y$ sono normali normali e

Z

$Z$ una variabile casuale standard di Cauchy (con tutti e tre indipendenti dalla premessa della domanda). È noto che

X / Y

$X/Y$ ha una distribuzione standard di Cauchy (uguale a quella di

Z

$Z$ ), ma

Y Z

$YZ$ non ha una distribuzione normale standard (poiché

E [Y Z]

$E[YZ]$ non esiste). Quindi hai bisogno di ulteriori restrizioni su

X, Y, Z

$X, Y, Z$ (vedi la risposta di Silverfish) per avere qualche speranza di trovare esempi in cui il risultato potrebbe essere valido.

— Dilip Sarwate,

@Dilip Ho considerato di usarlo come mio controesempio, ma ho evitato di farlo perché non riuscivo a pensare a una breve spiegazione del perché

E [Y Z]

$E[YZ]$ non esiste. Se hai un argomento chiaro, dovresti pubblicarlo come una risposta, penso. (Come probabilmente puoi dire, ho deliberatamente evitato zero e infiniti nella mia risposta, quindi ero molto desideroso di evitare qualcosa che non è nemmeno infinito!)

— Silverfish

@Dilip Poiché

è Cauchy, quindi

non esiste, mi sembra che la condizione non sia rispettata e l'affermazione non dice nulla su

. Per fare un confronto: se

è Cauchy e

ha la distribuzione degenerata

, allora sembrerebbe che

esiste (ed è uguale a zero) anche se

no.

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [Z]

$E[Z]$

— Silverfish,

Uno dei controesempi possibili più semplici e forse più intuitivi è quello di lasciare che

siano qualsiasi distribuzione con qualche possibilità di non essere in

(poiché

sono i punti fissi di

sono problematici nella definizione di

in ogni caso). Quindi

X = 1

$X=1$

Y

$Y$

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$

\pm 1

$\pm 1$

y \to 1 / y

$y\to 1/y$

0, \infty,

$0,\infty,$

- \infty

$-\infty$

X / Y

$X/Y$

Y Z

$YZ$ ovviamente non è costante mentre

è.

X

$X$

— whuber

@Silverfish

è definito solo se

è finito. Ma

dal

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$

| Y |

$|Y|$

| Z |

$|Z|$ sono variabili casuali indipendenti. Ma, poiché

non è finito ed

, concludiamo che

non è finito (non ci sono problemi sul valore di

). Di conseguenza,

non è definito (o non esiste) mentre

esiste sicuramente e ha valore

E [| Z |]

$E[|Z|]$

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$

0 \times \infty

$0\times\infty$

E [Y Z]

$E[YZ]$

E [X]

$E[X]$

0

$0$

— Dilip Sarwate,

Può succedere. Ad esempio, se , e sono variabili indipendenti di Rademacher , ovvero possono essere 1 o -1 con uguale probabilità. In questo caso è anche Rademacher, così ha la stessa distribuzione di , mentre è Rademacher ha così la stessa distribuzione di . $X$ $Y$ $Z$ $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

Ma non accadrà in generale. Finché esistono i mezzi, le condizioni necessarie (ma non sufficienti) per per avere la stessa distribuzione di , e per per avere la stessa distribuzione di , sarebbero: $X/Y$ $Z$ $YZ$ $X$

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

Le seconde uguaglianze seguite dall'indipendenza. Sostituendo dà:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

Se allora , o equivalentemente, purché , $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

$Y$ $1$ $2$ $\mathbb{E}(Y)=1.5$ $Y^{-1}$ $1$ $0.5$ $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ Invece variabile Bernouilli, o uno tradotto solo leggermente, quindi è molto vicino a 0 con probabilità metà. Si noti che nell'esempio di Rademacher non ci sono stati problemi perché tutte e tre le aspettative erano zero, si noti inoltre che questa condizione non è sufficiente.)

$Y$ $X$ $0$ $2$ $X/Y$ $0/1$ $0/2$ $2/1$ $2/2$ $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ $Z$ $YZ$ $X$ $X$ $YZ$ $\{1,2\}$ $\{0,1,2\}$

Se vuoi una morale per questo racconto, prova a giocare con le variabili di Bernouilli ridimensionate e tradotte (che include le variabili di Rademacher). Possono essere un modo semplice per costruire esempi e controesempi. Aiuta ad avere meno valori nei supporti in modo che le distribuzioni di varie funzioni delle variabili possano essere facilmente elaborate manualmente.

$X$ $Y$ $Y\neq 0$ $Z=X/Y$ $YZ$ $Z$ $X$ $P(X=1)$ $Y$ $Y$ $a$ $b$ $X/Y$ $Z$ $a^{-1}$ $b^{-1}$ $YZ$ $ab^{-1} \neq 1$ $X$

— pesciolino d'argento
fonte

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ Supponi che . Quindi, poiché è una funzione convessa su , la disuguaglianza di Jensen ci dice che la condizione vale solo se è degenerato. Lo stesso vale se , nel qual caso 1 / x è concavo. Quindi se è di segno fisso ma non degenerato, la condizione necessaria non può essere mantenuta.

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$

1 / x

$1/x$

(0, \infty)

$(0, \infty)$

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$

Y

$Y$

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$

Y

$Y$

— Dougal,

@Dougal Grazie per averlo menzionato. Durante la stesura, ho pensato di includerlo, ma ho sentito che la discussione di segni ecc. Avrebbe interrotto il flusso. Ho pensato di dire "vedi la disuguaglianza di Jensen" e di aggiungere un Wikipedia o un collegamento simile, ma poi ho deciso che non era una buona idea perché non l'avevo preceduto dalle condizioni di convessità che stavo cercando di evitare. Invece, ho dato un'occhiata per vedere se c'è un posto (forse un thread CV) in cui si discute in generale l'aspettativa di funzioni non lineari di un camper, il che porterebbe naturalmente un curioso lettore a Jensen, ma non ho individuato nulla Mi piace ancora.

— Silverfish,

@Dougal Questa è una di quelle volte in cui c'è un po 'di scontro tra controesemplari meravigliosamente semplici - qualcosa di molto facile da calcolare, quindi qualcuno che ha lavorato sotto una cattiva comprensione può immediatamente vedere che è impossibile o errato - e un trattamento generale più accurato che effettivamente aiuta mostrare in quali condizioni potrebbe effettivamente trattarsi qualcosa (ma che potrebbe essere troppo difficile da seguire per alcuni lettori, e quindi meno convincente per loro). Il camper su mostra anche a un principiante perché non funziona bene come ma Jensen dice molto di più sul perché!

{1, 2}

$\{1,2\}$

E (1 / Y)

$E(1/Y)$

E (a Y + b)

$E(aY+b)$

— Silverfish,

Sì, buon punto, anche se sono curioso di sapere quali condizioni può avere questa relazione (apparentemente naturale), che sembrano essere piuttosto limitate. Nota che nel mio commento sopra, ho scritto male la condizione: ovviamente dovrebbe essere .

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$

— Dougal,

@Dougal Penso che al di là dei camper degenerati tali relazioni non siano così "naturali" come sembrano per la prima volta. Considera che ha la stessa distribuzione di e ha la stessa distribuzione di , e tutti e tre sono indipendenti ... Ancora una volta non regge in generale.

Z

$Z$

X + Y

$X+Y$

Y

$Y$

Z - X

$Z-X$

— Silverfish,