Calcola il quantile della somma delle distribuzioni da particolari quantili

Assumiamo variabili casuali indipendenti per le quali i quantili a un determinato livello sono noti attraverso la stima dai dati: , ..., . Ora definiamo la variabile casuale come somma . C'è un modo per calcolare il valore del quantile della somma al livello , cioè in ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Penso che in casi particolari, come se segua una distribuzione gaussiana questo è facile, ma non sono così sicuro per il caso in cui la distribuzione di è sconosciuta. Qualche idea? $X_i$ $\forall i$ $X_i$

quantiles

— albarji
fonte

questi stimati dai dati o teoricamente noti?

q_{i}

$q_i$

— scegli il

Ciò non è possibile senza fare ipotesi specifiche sulle distribuzioni di . Hai in mente una famiglia di distribuzioni?

X_{i}

$X_i$

— whuber

@chuse sono stimate dai dati, in quanto la distribuzione di non è nota ma sono disponibili campioni. Ho aggiornato la domanda con questo fatto.

q_{i}

$q_i$

X_{i}

$X_i$

— Albarji,

@whuber Non ho alcuna conoscenza preliminare della famiglia di distribuzioni che potrebbe seguire, sebbene siano disponibili esempi di dati. Assumere una famiglia di distribuzioni (oltre a quella gaussiana) faciliterebbe questo?

X_{i}

$X_i$

— albarji,

$q_Z$ potrebbe essere qualsiasi cosa.

Per comprendere questa situazione, facciamo una semplificazione preliminare. Lavorando con otteniamo una caratterizzazione più uniforme $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Cioè, ogni ha la stessa probabilità di essere negativo. Perché $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

l'equazione di definizione per è equivalente a $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

con . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Quali sono i possibili valori di ? Considera il caso in cui abbia tutti la stessa distribuzione con tutta probabilità su due valori, uno negativo ( ) e l'altro positivo ( ). I possibili valori della somma sono limitati a per . Ognuno di questi si verifica con probabilità $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Gli estremi possono essere trovati da

Scegli e modo che ; e riusciranno. Ciò garantisce che sarà negativo tranne quando tutti gli sono positivi. Questa possibilità è uguale a . Supera quando , implicando che il quantile di deve essere strettamente negativo. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Scegliendo e modo che ; e raggiungeranno questo obiettivo. Ciò garantisce che sarà negativo solo quando tutti gli sono negativi. Questa possibilità è uguale a . È inferiore a quando , il che implica che il quantile di deve essere strettamente positivo. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Ciò dimostra che il quantile di potrebbe essere negativo o positivo, ma non è zero. Quali potrebbero essere le sue dimensioni? Deve essere uguale a una combinazione lineare integrale di e . Rendere entrambi questi valori interi assicura che tutti i possibili valori di siano integrali. Dopo aver ridimensionato di un numero positivo arbitrario , possiamo garantire che tutte le combinazioni lineari integrali di e sono multipli integrali di . Dal momento che , deve avere almeno dimensione . Di conseguenza, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ i possibili valori di (e da cui ) sono illimitati, $q_W$ $q_Z$ indipendentemente da quale possa essere uguale. $n\gt 1$

L' unico modo per ricavare qualsiasi informazione su sarebbe quello di fare vincoli specifici e forti sulle distribuzioni di , al fine di prevenire e limitare il tipo di distribuzioni sbilanciate utilizzate per derivare questo risultato negativo. $q_Z$ $X_i$

— whuber
fonte

Grazie mille @whuber, per l'esempio esplicativo e illustrativo. Anche se la risposta è negativa, non posso dire che sia stato inaspettato. Quindi proverò a scoprire quale famiglia di distribuzioni si adatta ai miei dati e vedrò se riuscirò a capire i quantili della somma.

— albarji,