qZ potrebbe essere qualsiasi cosa.
Per comprendere questa situazione, facciamo una semplificazione preliminare. Lavorando con otteniamo una caratterizzazione più uniformeYi=Xi−qi
α=Pr(Xi≤qi)=Pr(Yi≤0).
Cioè, ogni ha la stessa probabilità di essere negativo. PerchéYi
W=∑iYi=∑iXi−∑iqi=Z−∑iqi,
l'equazione di definizione per è equivalente aqZ
α=Pr(Z≤qZ)=Pr(Z−∑iqi≤qZ−∑iqi)=Pr(W≤qW)
con .qZ=qW+∑iqi
Quali sono i possibili valori di ? Considera il caso in cui abbia tutti la stessa distribuzione con tutta probabilità su due valori, uno negativo ( ) e l'altro positivo ( ). I possibili valori della somma sono limitati a per . Ognuno di questi si verifica con probabilitàqWYiy−y+Wky−+(n−k)y+k=0,1,…,n
PrW(ky−+(n−k)y+)=(nk)αk(1−α)n−k.
Gli estremi possono essere trovati da
Scegli e modo che ; e riusciranno. Ciò garantisce che sarà negativo tranne quando tutti gli sono positivi. Questa possibilità è uguale a . Supera quando , implicando che il quantile di deve essere strettamente negativo.y−y+y−+(n−1)y+<0y−=−ny+=1WYi1−(1−α)nαn>1αW
Scegliendo e modo che ; e raggiungeranno questo obiettivo. Ciò garantisce che sarà negativo solo quando tutti gli sono negativi. Questa possibilità è uguale a . È inferiore a quando , il che implica che il quantile di deve essere strettamente positivo.y−y+(n−1)y−+y+>0y−=−1y+=nWYiαnαn>1αW
Ciò dimostra che il quantile di potrebbe essere negativo o positivo, ma non è zero. Quali potrebbero essere le sue dimensioni? Deve essere uguale a una combinazione lineare integrale di e . Rendere entrambi questi valori interi assicura che tutti i possibili valori di siano integrali. Dopo aver ridimensionato di un numero positivo arbitrario , possiamo garantire che tutte le combinazioni lineari integrali di e sono multipli integrali di . Dal momento che , deve avere almeno dimensione . Di conseguenza,αWy−y+Wy±sy−y+sqW≠0si possibili valori di (e da cui ) sono illimitati,qWqZ indipendentemente da quale possa essere uguale.n>1
L' unico modo per ricavare qualsiasi informazione su sarebbe quello di fare vincoli specifici e forti sulle distribuzioni di , al fine di prevenire e limitare il tipo di distribuzioni sbilanciate utilizzate per derivare questo risultato negativo.qZXi