quando ho integrato una funzione o in simulazioni complesse, ho visto che il metodo Monte Carlo è ampiamente usato. Mi chiedo perché non si genera una griglia di punti per integrare una funzione invece di disegnare punti casuali. Non porterebbe risultati più esatti?
Risposte:
Ho trovato utili i capitoli 1 e 2 di queste lezioni quando ho posto la stessa domanda da me qualche anno fa. Un breve riassunto: una griglia con punti nello spazio tridimensionale richiederà N 20 valutazioni delle funzioni. Questo è molto. Usando la simulazione Monte Carlo, evitiamo in qualche modo la maledizione della dimensionalità. La convergenza di una simulazione Monte Carlo è O ( N - 1 / 2 ) che è, anche se piuttosto lento, dimensionalmente indipendenti .
Certo che lo fa; tuttavia viene fornito con un utilizzo della CPU molto maggiore. Il problema aumenta soprattutto in molte dimensioni, dove le reti diventano effettivamente inutilizzabili.
I commenti precedenti hanno ragione in quanto la simulazione è più facile da usare in problemi multidimensionali. Tuttavia, ci sono modi per rispondere alle tue preoccupazioni: dai un'occhiata a http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence e http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid .
Mentre in genere si tratta di campionamento del rifiuto quando si considera Monte Carlo, Markov Chain Monte Carlo consente di esplorare uno spazio di parametri multidimensionali in modo più efficiente rispetto a una griglia (o campionamento del rifiuto per quella materia). Come MCMC può essere utilizzato per l'integrazione è chiaramente indicato in questo tutorial- http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf
Due cose -
Convergenza più rapida evitando la maledizione della dimensionalità. Perché la maggior parte dei punti in una griglia si trovano sullo stesso iperpiano senza fornire informazioni significativamente aggiuntive. I punti casuali riempiono uniformemente lo spazio N-dimensionale. LDS è ancora meglio.
A volte per i metodi Monte Carlo abbiamo bisogno di punti statisticamente casuali in nessun ordine particolare. Una sequenza ordinata di punti della griglia comporterà scarse proprietà statistiche.