Definizione della dipendenza dalla coda

Ho cercato di trovare una definizione semplice e concisa di cosa sia la dipendenza dalla coda. Qualcuno potrebbe condividere ciò che credono che sia.

In secondo luogo, se dovessi tracciare simulazioni usando diverse copule su un grafico, come faccio a sapere quali mostrano una dipendenza dalla coda.

la definizione di dipendenza della coda superiore di rv e con le rispettive distribuzioni marginali F e G, è: (Embrechts et al. (2001)). È la probabilità che Y raggiunga valori estremamente grandi, dato che la variabile casuale X raggiunge valori estremamente grandi. Quindi può capire in un modo che più vicino è \ lambda a uno, più stretto è il legame tra X che raggiunge valori alti e Y che raggiunge anche valori grandi.$X$$Y$$\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$$\lambda$

Dire se le copule mostrano dipendenza dalla coda non è difficile in casi di estremo: ciò che conta è se le (due) variabili appaiono si comportano più da vicino negli angoli del grafico rispetto al centro.

La copula gaussiana non ha dipendenza dalla coda - anche se le variabili casuali sono altamente correlate, sembra che non vi sia alcuna relazione speciale in cui nessuna delle variabili raggiunge valori elevati (negli angoli del grafico).

L'assenza della dipendenza dalla coda diventa evidente quando la trama viene confrontata con la trama delle simulazioni dagli stessi margini ma con la copula T-2.

Le T-copule hanno la dipendenza dalla coda e la dipendenza aumenta con la correlazione e diminuisce con il numero di gradi di libertà. Se venissero simulati più punti, in modo da coprire una porzione maggiore del quadrato dell'unità, vedremmo quasi i punti una linea sottile negli angoli in alto a destra e in basso a sinistra. Ma anche sul grafico, è evidente che nei quadranti in alto a destra e in basso a sinistra - cioè dove entrambe le variabili raggiungono valori molto bassi o molto alti - le due variabili sembrano essere ancora più strettamente correlate rispetto al corpo.

I mercati finanziari tendono a mostrare dipendenza dalla coda, in particolare una dipendenza dalla coda inferiore ;. Ad esempio, i principali rendimenti azionari in tempi normali hanno una correlazione di circa 0,5, ma a settembre / ottobre 2008 alcune coppie hanno avuto una correlazione di oltre 0,9 - entrambi sono diminuiti in modo massiccio. La copula gaussiana è stata utilizzata prima delle crisi per la determinazione del prezzo dei prodotti di credito in arrivo e poiché non ha tenuto conto della dipendenza dalla coda, ha sottovalutato potenziali perdite quando molti proprietari di case non sono stati in grado di pagare. I pagamenti di un proprietario di abitazione possono essere intesi come variabili casuali - e si sono dimostrati altamente correlati nel momento in cui molte persone hanno iniziato ad avere problemi a pagare i loro mutui. Poiché questi valori predefiniti erano strettamente correlati a causa di un clima economico sfavorevole, i contro hanno mostrato una dipendenza dalla coda.

PS: Tecnicamente parlando, le immagini mostrano distribuzioni multivariate generate dalle copule e dai normali margini.

La dipendenza dalla coda è quando la correlazione tra due variabili aumenta quando si ottiene "ulteriore" nella coda (una o entrambe) della distribuzione. Confronta una copula di Clayton con una copula di Frank.

Clayton ha una dipendenza dalla coda sinistra. Ciò significa che man mano che ti allontani ulteriormente dalla coda sinistra (valori più piccoli), le variabili diventano più correlate. Il Frank (e gaussiano per quella materia) è simmetrico. Se la correlazione è 0,45, è 0,45 attraverso l'intero arco della distribuzione.

I sistemi economici tendono a mostrare dipendenza dalla coda. Ad esempio, assumere il rischio di credito del riassicuratore. Quando le perdite complessive sono normali, se il riassicuratore A o il riassicuratore B saranno inadempienti sui loro pagamenti a un assicuratore può sembrare non correlato o correlato in modo molto debole. Ora immagina che sia avvenuta una serie di vittime (come gli uragani Rita, Wilma, Ida, ecc.). Ora l'intero mercato viene colpito uno dopo l'altro con enormi richieste di pagamenti, il che può portare a un problema di liquidità che molti riassicuratori dovranno affrontare a causa della portata del problema e delle richieste simultanee dei loro assicurati. La loro capacità di pagare è molto più correlata ora. Questo è un esempio in cui è richiesta una copula con dipendenza dalla coda destra.

La dipendenza dalla coda, almeno per come la capisco, ha spiegato a qualcuno con un background di statistiche limitato.

Immagina di avere due variabili, X e Y. Con 100.000 osservazioni di ciascuna. Le osservazioni sono legate in un certo senso. Forse sono stati generati usando una copula o ti capita di avere i valori di rendimento di due titoli fortemente correlati nel corso di 100.000 periodi di tempo.

Diamo un'occhiata al peggior 1% di osservazioni per X. Sono 1.000 osservazioni. Ora guarda il valore corrispondente per Y in queste 1.000 osservazioni. Se X e Y fossero indipendenti, ti aspetteresti che 10 osservazioni di quelle 1.000 osservazioni facciano parte dei peggiori valori dell'1% di Y.

Il numero effettivo di osservazioni è probabilmente superiore a 10 quando i valori di X e Y non sono indipendenti nelle code, questo è ciò che chiamiamo dipendenza dalla coda .