k-means || alias K-Means scalabili ++

Bahman Bahmani et al. introdotto k-mean ||, che è una versione più veloce di k-mean ++.

Questo algoritmo è tratto da pagina 4 del loro articolo , Bahmani, B., Moseley, B., Vattani, A., Kumar, R., e Vassilvitskii, S. (2012). K-medie scalabili ++. Atti del VLDB Endowment , 5 (7), 622-633.

Sfortunatamente non capisco quelle fantasiose lettere greche, quindi ho bisogno di aiuto per capire come funziona. Per quanto ho capito, questo algoritmo è una versione migliorata di k-mean ++, e utilizza il sovracampionamento, per ridurre il numero di iterazioni: k-mean ++ deve iterare volte, dove è il numero di cluster desiderati.$k$$k$

Ho ottenuto un'ottima spiegazione attraverso un esempio concreto di come funziona k-mean ++, quindi userò di nuovo lo stesso esempio.

Esempio

Ho il seguente set di dati:

(7,1), (3,4), (1,5), (5,8), (1,3), (7,8), (8,2), (5,9), (8 , 0)

$k = 3$ (numero di cluster desiderati)

$\ell = 2$ (fattore di sovracampionamento)

Ho iniziato a calcolarlo, ma non sono sicuro di averlo fatto bene e non ho idea dei passaggi 2, 4 o 5.

• Passaggio 1: campiona un punto uniformemente a caso da$\mathcal{C} \leftarrow$$X$

  Supponiamo che il primo centroide sia (uguale a in k-means ++)$(8,0)$

• Passaggio 2:$\psi \leftarrow \phi_X(\mathcal{C})$

  nessuna idea

• Passaggio 3:

  • $d^2(x, \mathcal{C}) = [2, 41, 74, 73, 58, 65, 4, 90]$

    Calcoliamo le distanze al centro più vicino a ciascun punto. In questo caso finora abbiamo un solo centro .$(8,0)$

  • $\ell \cdot d^2(x, \mathcal{C}) = [4, 81, 148, 146, 116, 130, 8, 180]$

    (Perché in questo caso.)$\ell = 2$

  • $\text{cumulative } \ell \cdot d^2(x, \mathcal{C}) = [4, 85, 233, 379, 495, 625, 633, 813]$

    Scegli numeri casuali nell'intervallo . Di 'che scegli e . Esse rientrano negli intervalli e che corrispondono rispettivamente al 4 ° e 8 ° elemento.[ 0 , 813 ) 246,90 659,42 [ 379 , 495 ) [ 633 , 813 $\ell = 2$$[0, 813)$$246.90$$659.42$$[379, 495)$$[633, 813)$

  • Ripetilo volte, ma cosa è (calcolato nel passaggio 2) in questo caso? $\mathcal{O}(\log \psi)$$\psi$

• Passaggio 4: Per , imposta per essere il numero di punti in più vicino a rispetto a qualsiasi altro punto in .p x X x $x \in \mathcal{C}$$w_x$$X$$x$$\mathcal{C}$
• Passaggio 5: riorganizzare i punti ponderati in in gruppi.$\mathcal{C}$$k$

Qualsiasi aiuto in generale o in questo esempio particolare sarebbe grandioso.

punti dati: (7,1), (3,4), (1,5), (5,8), (1,3), (7,8), (8,2), (5,9) , (8,0)

l = 2 // fattore di sovracampionamento

k = 3 // no. dei cluster desiderati

Passo 1:

$\mathcal{C}$$\{ c_1\} = \{ (8,0) \}$$X = \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\}=\{(7,1),(3,4),(1,5),(5,8),(1,3),(7,8),(8,2),(5,9)\}$

Passo 2:

$\phi_X(\mathcal{C})$$X$$\mathcal{C}$$X$$\mathcal{C}$$X$

$d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$$x_i$$\mathcal{C}$$\psi = \sum_{i=1}^{n}d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$

$\mathcal{C}$$X$$d^2_{\mathcal{C}}(x_i)$$\mathcal{C}$$x_i$$\phi = \sum_{i=1}^{n}{||x_i-c||^2}$

$\psi = \sum_{i=1}^nd^2(x_i,c_1) = 1.41+6.4+8.6+8.54+7.61+8.06+2+9.4 = 52.128$ $log(\psi) = log(52.128) = 3.95 = 4 (rounded)$

$\mathcal{C}$

Passaggio 3:

$log(\psi)$

$X$$X$$x_i$$p_x = l d^2(x,\mathcal{C})/\phi_X(\mathcal{C})$$l$$d^2(x,\mathcal{C})$$\phi_X(\mathcal{C})$ è spiegato al passaggio 2.

L'algoritmo è semplicemente:

• $X$$x_i$
• $x_i$$p_{x_i}$
• $[0, 1]$$p_{x_i}$$\mathcal{C'}$
• $\mathcal{C'}$$\mathcal{C}$

$l$$X$

for(int i=0; i<4; i++) {

  // compute d2 for each x_i
  int[] psi = new int[X.size()];
  for(int i=0; i<X.size(); i++) {
    double min = Double.POSITIVE_INFINITY;
    for(int j=0; j<C.size(); j++) {
      if(min>d2(x[i],c[j])) min = norm2(x[i],c[j]);
    }
    psi[i]=min;
  }

  // compute psi
  double phi_c = 0;
  for(int i=0; i<X.size(); i++) phi_c += psi[i];

  // do the drawings
  for(int i=0; i<X.size(); i++) {
    double p_x = l*psi[i]/phi;
    if(p_x >= Random.nextDouble()) {
      C.add(x[i]);
      X.remove(x[i]);
    }
  }
}
// in the end we have C with all centroid candidates
return C;

Passaggio 4:

$w$$\mathcal{C}$$0$$X$$x_i \in X$$j$$\mathcal{C}$$w[j]$$1$$w$

double[] w = new double[C.size()]; // by default all are zero
for(int i=0; i<X.size(); i++) {
  double min = norm2(X[i], C[0]);
  double index = 0;
  for(int j=1; j<C.size(); j++) {
    if(min>norm2(X[i],C[j])) {
      min = norm2(X[i],C[j]);
      index = j;
    }
  }
  // we found the minimum index, so we increment corresp. weight
  w[index]++;
}

Passaggio 5:

$w$$k$$k$$p(i) = w(i)/\sum_{j=1}^m{w_j}$

for(int k=0; k<K; k++) {
  // select one centroid from candidates, randomly, 
  // weighted by w
  // see kmeans++ and you first idea (which is wrong for step 3)
  ... 
}  

Tutti i passaggi precedenti continuano, come nel caso di kmeans ++, con il normale flusso dell'algoritmo di clustering

Spero sia più chiaro ora.

[Più tardi, più tardi modifica]

Ho trovato anche una presentazione fatta dagli autori, in cui non è possibile chiaramente che ad ogni iterazione possano essere selezionati più punti. La presentazione è qui .

[Successivamente modifica il problema di @ pera]

$log(\psi)$

$C$$log(\psi)$

Un'altra cosa da notare è la seguente nota sulla stessa pagina che afferma:

In pratica, i nostri risultati sperimentali nella Sezione 5 mostrano che bastano pochi round per raggiungere una buona soluzione.

$log(\psi)$