Intuizione per momenti più alti nelle statistiche circolari

Nelle statistiche circolari, il valore di aspettativa di una variabile casuale con valori sul cerchio è definito come (vedi Wikipedia ). Questa è una definizione molto naturale, così come la definizione della varianza Quindi non abbiamo avuto bisogno di un secondo momento per definire la varianza! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V un' r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Tuttavia, definiamo i momenti più alti Ammetto che questo sembra piuttosto naturale a prima vista e molto simile alla definizione nelle statistiche lineari. Ma mi sento ancora un po 'a disagio e ho il seguente

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Domande:

1. Cosa si misura dai momenti più alti definiti in precedenza (intuitivamente)? Quali proprietà della distribuzione possono essere caratterizzate dai loro momenti?

2. Nel calcolo dei momenti superiori utilizziamo la moltiplicazione di numeri complessi, sebbene pensiamo ai valori delle nostre variabili casuali semplicemente come vettori nel piano o come angoli. So che la moltiplicazione complessa è essenzialmente un'aggiunta di angoli in questo caso, ma comunque: Perché la moltiplicazione complessa è un'operazione significativa per i dati circolari?

— Rasmus
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$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

Per quanto riguarda la tua seconda domanda, penso che tu abbia già dato la risposta: "la moltiplicazione complessa è essenzialmente un'aggiunta di angoli in questo caso".

— Mark Meckes
fonte

Grazie, è davvero utile. (Peccato per me per non aver riconosciuto una serie di Fourier anche quando si precipita verso di essa ...)

— Rasmus

Ciò significa che i momenti di una distribuzione circolare dovrebbero essere confrontati con la funzione caratteristica di una distribuzione lineare piuttosto che con i suoi momenti?

— Rasmus,

@Rasmus: immagino che dipenda esattamente da cosa vuoi fare con le informazioni, ma in generale direi di sì.

— Mark Meckes,