10 teste di fila aumentano la possibilità che il prossimo lancio sia una coda?


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Suppongo che sia vero: assumere una moneta giusta, ottenere 10 teste di fila mentre si lancia una moneta non aumenta la probabilità che il prossimo lancio di una moneta sia una coda , indipendentemente dalla quantità di probabilità e / o gergo statistico che viene lanciato (scusa i giochi di parole).

Supponendo che sia così, la mia domanda è questa: come diavolo posso convincere qualcuno che è il caso?

Sono intelligenti ed educati ma sembrano determinati a non considerare che potrei avere ragione su questo (argomento).


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Quali argomenti non si far pesare la loro posizione? Forse potresti attirare l'attenzione sul fatto che una moneta non ha memoria. (In alternativa, potresti insegnare loro scommettendo sul lancio successivo e dando loro quote davvero ripide - ripeti fino a quando non avranno perso un sacco di soldi.)
S. Kolassa - Reinstalla Monica il

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Questo è noto come Fallacy del giocatore d'azzardo
Dan,

6
Se quello che stanno dicendo è vero, dovresti registrare ogni lancio della moneta poiché la moneta è stata emessa per sapere se è una "moneta giusta"
Mikey Mouse,

10
La chiave qui è se questa è una moneta reale o ipotetica. Nelle statistiche, ottenere 10 teste non significa nulla e la probabilità di quella successiva è ancora 50/50. Nella vita reale, lanciando 10 teste mi farebbe esaminare la moneta più da vicino.
anaximander,

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Poni questa domanda al tuo amico: supponiamo di avere dieci persone per volta a lanciare simultaneamente dieci monete fino a quando tutte e dieci escono di testa . Nel momento che accade - cosa che potresti fare in meno di un'ora - hai un'undicesima persona che lancia un'undicesima moneta. Chiedi al tuo amico: l'undicesima persona ha maggiori probabilità di capovolgere la coda? Se dicono di sì, chiedi loro di spiegare perché le persone che hanno un interesse nel lancio delle monete - dicono le squadre di calcio - non usano questa tecnica per cambiare le probabilità a loro favore. Se dicono di no, chiedi loro di spiegare cosa è diverso tra i due scenari.
Eric Lippert,

Risposte:


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stanno cercando di affermare che [...] se ci sono state 10 teste, il successivo nella sequenza sarà più probabilmente una coda perché le statistiche dicono che alla fine si bilancerà

C'è solo un "bilanciamento" in un senso molto particolare.

Se è una moneta giusta, è comunque 50-50 ad ogni lancio. La moneta non può conoscere il suo passato . Non può sapere che ci fosse un eccesso di teste. Non può compensare il suo passato. Mai . continua a essere casualmente testa o croce con costante possibilità di testa.

Se è il numero di teste in ( è il numero di code), per una moneta giusta, tenderà a 1, poiché va all'infinito .... manon va a 0. In realtà, va anche all'infinito!nHn=nH+nTnTnH/nTnH+nT|nHnT|

Cioè, nulla agisce per renderli più uniformi. I conteggi non tendono al "bilanciamento". In media, lo squilibrio tra il numero di teste e le code in realtà cresce!

Ecco il risultato di 100 serie da 1000 lanci, con le tracce grigie che mostrano la differenza nel numero di teste meno il numero di code ad ogni passo.

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Le tracce grigie (che rappresentano ) sono una passeggiata casuale di Bernoulli. Se si pensa a una particella che si muove su o giù lungo l'asse y di un passo unitario (in modo casuale con uguale probabilità) ad ogni passo temporale, la distribuzione della posizione della particella si "diffonderà" lontano da 0 nel tempo. Ha ancora 0 valore atteso, ma la sua distanza prevista da 0 aumenta man mano che la radice quadrata del numero di passi temporali. [Nota per chiunque stia pensando " sta parlando della differenza assoluta attesa o della differenza RMS " - in realtà sia: per grande il primo ènHnTn2/π 80% del secondo.]

La curva blu sopra è a e la curva verde è a . Come vedi, la distanza tipica tra la testa totale e la coda totale aumenta. Se ci fosse qualcosa che agisce per "ristabilire l'uguaglianza" - per "compensare" le deviazioni dall'uguaglianza - in genere non tende a crescere ulteriormente così. (Non è difficile mostrarlo algebricamente, ma dubito che ciò convincerebbe il tuo amico. La parte critica è che la varianza di una somma di variabili casuali indipendenti è la somma delle varianze vedi la fine della sezione collegata - ogni ogni volta che aggiungi un'altra moneta, aggiungi un importo costante sulla varianza della somma ... quindi la varianza deve crescere proporzionalmente con±n±2n <>n. Di conseguenza la deviazione standard aumenta conn . La costante che viene aggiunta alla varianza ad ogni passaggio in questo caso sembra essere 1, ma non è cruciale per l'argomento.)

Equivalentemente, va a|nHnT|nH+nT0 mentre i lanci totali vanno all'infinito, ma solo perchénH+nT|nHnT|

nn1/n

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Questo è tutto quello che sta succedendo. Le deviazioni casuali sempre più grandi * dall'uguaglianza sono semplicemente " spazzate via " dal denominatore ancora più grande .

* crescente in dimensioni assolute tipiche

Guarda la piccola animazione a margine, qui

Se il tuo amico non è convinto, lancia alcune monete. Ogni volta che dici tre teste di fila, fagli nominare una probabilità per una testa al lancio successivo (che è inferiore al 50%) che pensa debba essere giusto secondo il suo ragionamento. Chiedi loro di darti le probabilità corrispondenti (cioè, lui o lei deve essere disposto a pagare un po 'più di 1: 1 se scommetti sulle teste, poiché insistono sul fatto che le code sono più probabili). È meglio se è impostato come un sacco di scommesse ciascuno per una piccola quantità di denaro. (Non sorprenderti se ci sono delle scuse sul perché non riescono a raccogliere la metà della scommessa - ma almeno sembra ridurre drasticamente la veemenza con cui viene mantenuta la posizione.)

[Tuttavia, tutta questa discussione si basa sulla correttezza della moneta. Se la moneta non fosse corretta (50-50), sarebbe necessaria una versione diversa della discussione, basata su deviazioni dalla differenza proporzionale prevista. Avere 10 teste in 10 lanci potrebbe farti sospettare dell'assunzione di p = 0,5. Una moneta ben lanciata dovrebbe essere vicina alla scala - ponderata o meno - ma in realtà mostra ancora un pregiudizio piccolo ma sfruttabile , specialmente se la persona che la sfrutta è qualcuno come Persi Diaconis. D'altra parte, le monete gettate potrebbero essere piuttosto suscettibili a distorsioni a causa del maggior peso su una faccia.]


3
Per la prova della scommessa, potresti ottenere 2 £ / $ (qualunque cosa tu usi) in monete da 1p / 1cent. Fai le scommesse come menzionato sopra, con le sue quote richieste in base alla probabilità delle scommesse precedenti, fino a quando uno di voi ha tutto il denaro dell'altro. Una volta che hai preso i suoi soldi 100 volte, è più difficile per lui discutere.
Jon Story,

1
+1 per l'idea di scommessa. Perdere denaro sembra un argomento convincente ...
Erel Segal-Halevi,

2
Solo un piccolo commento sulla tua ultima affermazione (in []). Secondo Andrew Gelman, non esiste una moneta ingiusta .
Henrik

@Henrik, ho già un link a quell'articolo nel mio post. Potresti voler controllare l'altro link nella frase in cui ti collego. Potresti trovarlo abbastanza istruttivo. Mentre le monete possono (nel senso molto particolare che Gelman intende) essere "giuste", in un altro senso (a mio ricordo, un senso che Diaconis è in grado di sfruttare ripetutamente nelle dimostrazioni - essendo un abile mago oltre che uno statistico) il risultato di lanciarlo potrebbe essere abbastanza lontano dalla fiera.
Glen_b,

2
nn

31

La confusione è perché sta osservando la probabilità dall'inizio senza guardare cos'altro è già successo.

Semplifichiamo le cose:

Primo capovolgimento:

T

Ora la probabilità di una T era del 50%, quindi 0,5.

La probabilità che il prossimo lancio sia di nuovo T è 0,5

TT 0.5
TF 0.5

Tuttavia, che dire del primo capovolgimento? Se lo includiamo, allora:

TT 0.25
TF 0.25

Il restante 50% inizia con F, e ancora una volta ha una divisione uniforme tra T e F.

Per estenderlo a dieci code di fila, la probabilità che tu abbia già ottenuto è 1/1024.

La probabilità che il prossimo sia T o F è del 50%.

Quindi la possibilità dall'inizio di 11 code è 1 nel 2048. La probabilità che abbia già girato la coda 10 volte che il prossimo lancio sarà anche una coda è comunque del 50%.

Stanno cercando di applicare l'improbabilità delle probabilità 1 su 1024 di 10 T alla probabilità di un'altra T, quando in realtà ciò è già accaduto, quindi la probabilità che ciò accada non è più importante.

11 code di fila non hanno più o meno probabilità di 10 code seguite da una testa.

La probabilità che 11 flip siano tutti code è improbabile, ma dal momento che è già successo non ha più importanza!


6
Penso che questa sia davvero la risposta più precisa. Penso che parte del problema sia che le persone sono piuttosto pedanti nell'affermare che la possibilità che la prossima moneta sia la testa è sempre del 50%, il che è ovviamente vero. Penso che sia abbastanza chiaro che quando le persone "non credono" a questo, stanno ovviamente parlando della probabilità di ottenere 10 di fila, non solo il 1. Concedendo il punto che è certamente meno probabile che si ottengano 10 teste di fila rispetto a è capovolgere 1 testa a testa in modo da far finire il "dibattito".
Kik,

13

Le probabilità sono ancora 50-50 che il prossimo lancio sarà la croce.

Spiegazione molto semplice: le probabilità di lanciare 10 teste + 1 coda in questo ordine sono molto basse. Ma quando hai lanciato 10 teste, hai già battuto la maggior parte delle probabilità ... hai una probabilità del 50-50 di finire la sequenza con il prossimo lancio della moneta.


11

Dovresti provare a convincerli che se i risultati precedenti avessero avuto un impatto sui lanci imminenti, non solo gli ultimi 10 lanci avrebbero dovuto essere presi in considerazione, ma anche ogni lancio precedente nella vita della moneta.

Penso che sia un approccio più logico.


1
Questo. Il buon senso è il modo migliore per spiegare il problema del giocatore d'azzardo, poiché il buon senso è la causa. Inizia la tua confutazione con qualcosa di simile a questa risposta e giungeranno rapidamente alla conclusione che si sbagliano da soli. Quindi saranno pienamente ricettivi al ragionamento corretto.
Talrnu,

1
Perché solo quella moneta? Perché non tutte le monete mai lanciate?
Colmde,

7

Questa non è davvero una risposta: il tuo problema è psicologico, non matematico. Ma può essere d'aiuto.

sometimes210103


7

1/2

xn11,12,,n+10.

limnxn/n=1/2
limn10+xnn+10=1/2
Cioè, dopo un milione e dieci lanci, abbiamo quel quindi, nel limite, le prime 10 code non contano affatto, il suo effetto è "sbiadito" da tutti i lanci successivi. Pertanto, non è necessario "bilanciare" per mantenere il risultato limite. Matematicamente, questo sta solo usando il fatto che il limite (se esiste ...) di qualsiasi sequenza di numeri non dipende affatto da nessun segmento iniziale finito! Quindi possiamo assegnare arbitrariamente i risultati per i primi dieci (o primi cento) lanci senza influire sul limite. Immagino che questo modo di spiegarlo ai tuoi amici giocatori (forse con più numeri ed esempi e meno algebra ...) potrebbe essere il modo migliore.
10+50000010000100.5

L'altro aspetto è : dopo dieci lanci dieci code, forse qualcuno inizia a dubitare che la moneta sia buona, corrisponde al modello semplice e ordinario di lanci indipendenti, pari probabilità. Supponendo che il "lanciatore" (la persona che sta lanciando il lancio) non sia stato addestrato a controllare i lanci in qualche modo, e si stia davvero lanciando in modo onesto, la probabilità di coda deve essere la metà ( vedi questo documento di Gelman ).

Quindi allora ci deve essere, nell'ipotesi alternativa, una certa dipendenza tra i lanci di monete! E, dopo aver visto dieci code di fila, l'evidenza è che la dipendenza è positiva, quindi una coda aumenta la probabilità che il prossimo lancio della moneta sarà coda. Ma poi, dopo quell'analisi, la conclusione ragionevole è che la probabilità che l'undicesimo lancio sia una coda è aumentata , non abbassata! Quindi la conclusione, in quel caso, è l' opposto dei tuoi amici giocatori d'azzardo.

Penso che avrai bisogno di un modello davvero molto strano per giustificare le loro conclusioni.


4

Supponendo che i lanci di monete siano indipendenti, questo è molto facile da dimostrare da uno statistico all'altro. Tuttavia, il tuo amico sembra non credere che i lanci di monete siano indipendenti. Oltre a gettare in giro parole che sono sinonimo di indipendente (ad esempio, la moneta non ha un "ricordo") non puoi dimostrargli che i lanci di monete sono indipendenti con un semplice argomento di parole. Suggerirei di usare la simulazione per affermare il tuo reclamo ma, a dire il vero, se il tuo amico non crede che il lancio della moneta sia indipendente, non sono sicuro che crederà ai risultati della simulazione.


4

Per riaffermare alcune delle spiegazioni già fornite (da @TimB e @James K), una volta che hai lanciato una moneta 10 volte e hai ottenuto 10 teste, la probabilità di ottenere 10 teste di fila è esattamente 1.0! È già successo, quindi la probabilità che ciò accada è ora fissa.

Quando lo moltiplichi per la probabilità di ottenere teste sul tuo prossimo lancio (0,5), ottieni esattamente 0,5.

Scommettere su code con qualcosa di diverso dalle pari quote a quel punto è una scommessa del pollone.


4

Diciamo che sono convinto che la moneta sia giusta. Se la moneta era giusta, allora la probabilità di avere 10 teste di fila è Quindi, come frequentatore con significato , devo rifiutare l' : la moneta è giusta e concludere che l' : "qualcosa di sospetto" è vero. No, non posso insistere sul fatto che la probabilità di vedere un'altra testa è ancora

p10=(12)10=11024<0.1%
α=1%H0Ha12

p=12π>12

L'esempio di UPDATE @oerkelens può essere interpretato in due modi.

  • il tuo amico ha scommesso su THHTTHTTHT, quindi ha lanciato una moneta 10 volte e ha ottenuto: THHTTHTTHT. In questo caso rimarrai sorpreso come con 10 teste di fila e inizi a dubitare dell'equità di una moneta. Non sei sicuro di cosa pensare della probabilità di coda nel prossimo lancio, perché il tuo amico sembra essere in grado di ottenere esattamente quello che vuole, questo non è casuale.
  • p=10!6!4!2100.212

1(1210)100,0001

PER LE PERSONE INFORMATICHE Se i tuoi amici sono programmatori di computer, ho scoperto che il modo più semplice per attirare la loro intuizione è attraverso la programmazione. Chiedi loro di programmare l'esperimento del lancio della moneta. Ci penseranno un po 'poi escogiteranno qualcosa del genere:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Glielo chiederai

dov'è il tuo codice per gestire 10 teste di fila qui? Sembra che nel tuo codice indipendentemente da ciò che è accaduto nei primi 10 loop, l'undicesimo lancio ha 0,5 probabilità di testa.

Tuttavia, questo caso fa appello al lancio corretto della moneta. Il codice è progettato con un lancio corretto della moneta. Nel caso di 10 teste, è altamente improbabile che la moneta sia giusta.


Ma l'OP vuole convincere i suoi amici, e questi amici credono che la possibilità di un'altra testa sia inferiore a 1/2.
oerkelens,

Ecco come è conveniente per te inquadrare e interpretare la sua domanda. Hai mai visto 10 teste di fila con una moneta giusta?
Aksakal,

3
Non sto inquadrando, sto leggendo :) La domanda afferma: 10 teste di fila aumentano la possibilità che il prossimo lancio sia una coda? , Fallacia del giocatore d'azzardo. Il tuo approccio è interessante, ma non risponde perché in caso di una moneta giusta le probabilità sarebbero comunque 50/50 :) Considerando di aver mai visto 10 teste di fila con una moneta giusta, lascia che ti chieda se hai mai visto quanto segue serie: THHTTHTTHT? Perché questo è come improbabile come vedere hhhhhhhhhh. Stranamente, presentato con quella serie, la tua formula dovrebbe anche decidere che la moneta è ingiusta.
oerkelens,

@oerkelens, ho aggiornato la mia risposta al tuo commento, grazie
Aksakal,

3

In circostanze ideali la risposta è no. Ogni lancio è indipendente da ciò che è accaduto prima. Quindi se questa è una moneta veramente giusta, non importa. Ma se non sei sicuro che la moneta sia difettosa o meno (cosa che potrebbe accadere nella vita reale), una lunga sequenza di code può indurre a credere che sia ingiusta.


3
No, no, no! Non esiste una "moneta ingiusta". È solo un'invenzione di manuali di statistica. Vedi: stat.columbia.edu/~gelman/research/published/diceRev2.pdf
Tim

@Tim Cosa succede se la moneta ha una testa su entrambi i lati? Più seriamente, capisco cosa stai dicendo. Non ci sono monete che sembrano autentiche ma che sono sbilanciate. Non lo sapevo.
Nicolas Bourbaki,

1
@Tim Beh, faccio matematica, quindi non mi interessa davvero se il concetto è realistico! Faccio solo finta che esiste una moneta del genere per esempio. Ma in futuro, se dovrò mai insegnare di nuovo la teoria della probabilità, dirò agli studenti che realisticamente tali monete non esistono.
Nicolas Bourbaki,

1
@Tim IIRC, non esiste una moneta ingiusta a tutti gli effetti pratici, tuttavia ciò non significa che una moneta sia esattamente giusta. Se hai una dimensione del campione infinita, puoi rilevare differenze "statisticamente significative" arbitrariamente piccole e nessun oggetto del mondo reale si comporta mai esattamente come suggerisce il suo modello teorico.
Dikran Marsupial,

1
@Finché quel riferimento non dice che non c'è 'moneta ingiusta', dice specificamente nel caso di lanciare una moneta non è ingiusto (e anche con questo, sta usando una mano di persone, non la gravità), ed è provato empiricamente dagli studenti lanciando monete. Lo studio non confronta correttamente la moneta con i dadi, in quanto afferma che i dadi possono essere ponderati, ma non prova a lanciarli nella mano.
user-2147482637

3

Questa risposta funzionerà per tutte le domande di questo tipo, incluso il problema di Monty Hall. Basta chiedere loro cosa pensano che siano le probabilità di ottenere una coda dopo dieci teste. Offri di giocarli leggermente meglio (per loro) ma comunque con meno di 50-50 probabilità. Con un po 'di fortuna, accetteranno di lasciare che un computer esegua il lancio, nel qual caso avrai rapidamente una somma di denaro in tasca. Altrimenti ci vorrà più tempo ma il risultato è (inevitabilmente) lo stesso.


+1. Naturalmente, per prima cosa devi essere abbastanza paziente da continuare a lanciare la moneta fino a quando arrivano dieci teste di fila!
whuber

Sì, e chi vuole aspettare in media 2046 lanci per vederlo?
Soakley,

ed è per questo che ho detto che se è fortunato accetteranno il lancio del computer. Tuttavia, è denaro gratuito per il credente in MP e una lezione economica per il non credente. Di certo non ho mai suggerito che l'operazione trattenga il respiro in attesa dell'evento. Inoltre, non c'è nulla di magico in 10, dovrebbero credere che 9, 8, ... anche 2 teste di fila influenzano le probabilità. Ora il tempo di attesa per il lancio delle monete sembra ragionevole
aginensky,

0

Come li convinceresti? Un modo è mostrare la distribuzione dei risultati dal problema esatto descritto.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

-3

100.510

  • 0.510
  • 0.511

E la differenza tra i due è solo un lancio di monete equo.


Nel primo punto, qual è esattamente l '"evento" a cui ti riferisci?
whuber

anche di "esserci", mi dispiace individuato l'errore di battitura
coulminer

1
0.510

0.5 ^ 10 * 1 ^ 1 Vivo solo nell'universo dove ci occupiamo solo delle teste totali di fila
colulminatore,

Non capisco. Dopo la decima testa, il lancio successivo ha il 50% di probabilità di sbarcare teste, ma stai dicendo che in realtà è un risultato leggermente meno probabile. È quello che stai dicendo?
Smig
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