Probabilità di un evento che non è misurabile

Sappiamo dalla teoria delle misure che ci sono eventi che non possono essere misurati, cioè che non sono misurabili da Lebesgue. Come chiamiamo un evento con una probabilità che la misura di probabilità non sia definita? Quali tipi di dichiarazioni faremmo riguardo a un simile evento?

probability estimation

— Schenectady
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Questo non calcola. Forse ho bisogno di caffè o sto leggendo male questo. C'è una differenza tra una funzione di misura che non viene definita e una serie che non è misurabile. Se la domanda è correlata alla funzione, allora è semplicemente un punto in cui la funzione non è definita. Ciò non esclude la possibilità di una funzione definita ed è una misura di probabilità valida.

— Iteratore

Se non è possibile stabilire un insieme non misurabile di Lebesgue senza l'assioma della scelta, come proponete di sapere se si è verificato un evento particolare con una probabilità non misurabile?

— Henry,

@ Henry: l'OP potrebbe riferirsi solo alla terminologia. Per quanto riguarda come potrei riferirmi a un simile evento, dovrei invocare l'Infinite Improbability Drive di Douglas Adams. O chiamalo fenomeno della Regina Bianca, poiché poteva credere a 6 cose impossibili prima di colazione. :)

— Iteratore

Come ha sottolineato il cardinale, gli insiemi non misurabili sono ampiamente utilizzati nella teoria della probabilità. Il libro Debole convergenza e processi empirici di van der Vaart offre un'ottima introduzione. La lettura di questo libro richiede un discreto background in matematica, ma a mio avviso la teoria presentata è bellissima.

— mpiktas,

Sei interessato solo ai risultati che coinvolgono la misura di Lebesgue o più in generale nell'ambito della teoria della probabilità? Sembra esserci qualche dubbio al riguardo tra i partecipanti qui.

— cardinale l'

Risposte:

Come ho affermato nei commenti, come affrontare questi tipi di eventi (insiemi non misurabili) è descritto nel libro: convergenza debole e processi empirici di A. van der Vaart e A. Wellner. Puoi sfogliare le prime pagine.

La soluzione su come gestire questi set è abbastanza semplice. Approssimali con set misurabili. Supponiamo quindi di avere uno spazio di probabilità . Per ogni set definire la probabilità esterna (è nella pagina 6 del libro): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Si scopre che è possibile costruire una teoria molto fruttuosa con questo tipo di definizione.

— mpiktas
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anche se non sono un esperto di teoria dei processi empirici, ho l'impressione che l'uso delle probabilità esterne non sia realmente basato sul desiderio di assegnare probabilità a insiemi non misurabili, ma perché non si vuole passare attraverso la seccatura di dimostrando effettivamente misurabilità per tutto il tempo. E se riesci a vivere senza cose come il teorema di Fubini, in pratica non perdi nulla semplicemente calcolando le probabilità esterne.

— NRH,

Modifica: alla luce del commento del cardinale: tutto ciò che dico di seguito riguarda implicitamente la misura di Lebesgue (una misura completa). Rileggendo la tua domanda, sembra che sia anche quello che stai chiedendo. Nel caso generale della misura Borel, potrebbe essere possibile estendere la misura per includere il tuo set (cosa che non è possibile con la misura Lebesgue perché è già grande quanto può essere).

La probabilità di un tale evento non sarebbe definita. Periodo. Proprio come una funzione con valore reale non è definita per un numero complesso (non reale), una misura di probabilità è definita su insiemi misurabili ma non su insiemi non misurabili.

Quindi quali dichiarazioni possiamo fare su un evento del genere? Bene, per cominciare, un tale evento dovrebbe essere definito usando l'assioma della scelta. Ciò significa che tutti gli insiemi che possiamo descrivere da una regola sono esclusi. Vale a dire, tutti i set a cui siamo generalmente interessati sono esclusi.

Ma non potremmo dire qualcosa sulla probabilità di un evento non misurabile? Metti un limite o qualcosa del genere? Il paradosso di Banach-Tarski mostra che questo non funzionerà. Se la misura del numero finito di pezzi in cui Banach-Tarski decompone la sfera avesse un limite superiore (diciamo, la misura della sfera), costruendo abbastanza sfere avremmo incontrato una contraddizione. Con un argomento simile al contrario, vediamo che i pezzi non possono avere un limite inferiore non banale.

Non ho dimostrato che tutti gli insiemi non misurabili sono così problematici, anche se credo che una persona più intelligente di quanto dovrei essere in grado di elaborare un argomento che dimostri che non possiamo in alcun modo coerente mettere un limite non banale alla "misura "di qualsiasi insieme non misurabile (sfida per la comunità).

In sintesi, non possiamo fare alcuna dichiarazione sulla misura di probabilità di un tale insieme, questa non è la fine del mondo perché tutti gli insiemi rilevanti sono misurabili.

— Har
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Questa è una risposta interessante e una risposta informativa. Ma potresti essere troppo concentrato sulla misurabilità di Lebesgue. Gli insiemi non misurabili sono molto più diffusi nella teoria della probabilità.

— cardinale

Ci sono già buone risposte, ma lasciatemi contribuire con un altro punto. La misura di Lebesgue è spesso considerata sull'algebra di Lebesgue , che è completa e, come già sottolineato, abbiamo bisogno dell'assioma di scelta per stabilire insiemi non misurabili di Lebesgue. Nella teoria della probabilità generale, e, in particolare, in relazione ai processi stocastici, è tutt'altro che ovvio che è possibile effettuare un completamento rilevante dell'algebra e gli eventi non misurabili sono meno esotici. In un certo senso, il divario tra Borel -algebra e Lebesgue -algebra on è più interessante dei set esotici non presenti in Lebesgue -algebra. $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

Il problema che vedo principalmente, che è legato alla domanda, è che un insieme (o una funzione) potrebbe non essere ovviamente misurabile. In alcuni casi puoi provare che lo è effettivamente, ma può essere difficile, e in altri casi puoi solo dimostrare che è misurabile quando estendi -algebra con gli insiemi null di qualche misura. Per studiare le estensioni di Borel -algebre su spazi topologici incontrerai spesso i cosiddetti insiemi di Souslin o insiemi analitici, che non devono essere misurabili da Borel. $\sigma$ $\sigma$

— NRH
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