Possiamo confrontare le correlazioni tra i gruppi confrontando le pendenze di regressione?

In questa domanda si chiedono come confrontare Pearson r per due gruppi indipendenti (come maschi contro femmine). Risposta e commenti suggeriscono due modi:

1. Usa la famosa formula di Fisher usando "z-tranformation" di r;
2. Utilizzare il confronto delle pendenze (coefficienti di regressione).

Quest'ultimo potrebbe essere facilmente eseguito solo tramite un modello lineare saturo: , dove e sono le variabili correlate e è una variabile fittizia (0 vs 1) che indica i due gruppi. La grandezza di (il coefficiente del termine di interazione) è esattamente la differenza nel coefficiente dopo il modello condotto in due gruppi individualmente, e il suo significato ( 's) è quindi il test della differenza di pendenza tra i gruppi.X Y G d b Y = a + b X $Y = a + bX + cG + dXG$$X$$Y$$G$$d$$b$$Y = a + bX$$d$

Ora, pendenza o regressione coef. non è ancora un coef correlazione. Ma se standardizziamo e - separatamente in due gruppi - allora sarà uguale alla differenza r nel gruppo 1 meno r nel gruppo 0 e quindi il suo significato testerà la differenza tra le due correlazioni: stiamo testando pendenze ma sembra [come se -?] stiamo testando le correlazioni.Y $X$$Y$$d$

Ho scritto correttamente?

Se sì, rimane la domanda che è un test migliore delle correlazioni: questo è quello descritto o quello di Fisher? Perché produrranno risultati non identici. Cosa ne pensi?

Modifica successiva: Ringraziando @ Wolfgang per la sua risposta, mi sento comunque dispiaciuto capire perché il test di Fisher è più corretto di un test per l'approccio di confronto di pendenza sotto standardizzazione sopra descritto. Quindi, più risposte sono benvenute. Grazie.

Tutto quello che hai scritto è corretto. Puoi sempre provare cose del genere con un esempio di giocattolo. Ecco un esempio con R:

library(MASS)

rho <- .5  ### the true correlation in both groups

S1 <- matrix(c( 1,   rho,   rho, 1), nrow=2)
S2 <- matrix(c(16, 4*rho, 4*rho, 1), nrow=2)

cov2cor(S1)
cov2cor(S2)

xy1 <- mvrnorm(1000, mu=c(0,0), Sigma=S1)
xy2 <- mvrnorm(1000, mu=c(0,0), Sigma=S2)

x <- c(xy1[,1], xy2[,1])
y <- c(xy1[,2], xy2[,2])
group <- c(rep(0, 1000), rep(1, 1000))

summary(lm(y ~ x + group + x:group))

Cosa troverai che l'interazione è molto significativa, anche se la vera correlazione è la stessa in entrambi i gruppi. Perché succede? Perché i coefficienti di regressione grezza nei due gruppi riflettono non solo la forza della correlazione, ma anche il ridimensionamento di X (e Y) nei due gruppi. Poiché tali ridimensionamenti differiscono, l'interazione è significativa. Questo è un punto importante, poiché si ritiene spesso che per testare la differenza nella correlazione, sia sufficiente testare l'interazione nel modello sopra. Continuiamo:

summary(lm(xy2[,2] ~ xy2[,1]))$coef[2] - summary(lm(xy1[,2] ~ xy1[,1]))$coef[2]

Questo ti mostrerà che la differenza nei coefficienti di regressione per il modello montato separatamente nei due gruppi ti darà esattamente lo stesso valore del termine di interazione.

Ciò a cui siamo veramente interessati è la differenza nelle correlazioni:

cor(xy1)[1,2]
cor(xy2)[1,2]
cor(xy2)[1,2] - cor(xy1)[1,2]

Scoprirai che questa differenza è essenzialmente zero. Standardizziamo X e Y all'interno dei due gruppi e rimontiamo il modello completo:

x <- c(scale(xy1[,1]), scale(xy2[,1]))
y <- c(scale(xy1[,2]), scale(xy2[,2]))
summary(lm(y ~ x + x:group - 1))

Nota che non includo qui l'intercettazione o l'effetto principale del gruppo, perché sono zero per definizione. Scoprirai che il coefficiente per x è uguale alla correlazione per il gruppo 1 e il coefficiente per l'interazione è uguale alla differenza nelle correlazioni per i due gruppi.

Ora, per la tua domanda se sarebbe meglio usare questo approccio piuttosto che usare il test che utilizza la trasformazione r-to-z di Fisher.

MODIFICARE

$\rho_1 = \rho_2 = 0$$\rho_1 = \rho_2 \ne 0$$\alpha$$\pm1$

Conclusione: se si desidera verificare una differenza nelle correlazioni, utilizzare la trasformazione r-to-z di Fisher e verificare la differenza tra tali valori.