Quasi sicuramente la convergenza non implica una convergenza completa

Diciamo che convergono completamente in se per ogni . $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Con Borel Cantelli il lemma è diretto a dimostrare che la convergenza completa implica una convergenza quasi certa.

Sto cercando un esempio in cui quasi sicuramente la convergenza non può essere dimostrata con Borel Cantelli. Questa è una sequenza di variabili casuali che converge quasi sicuramente ma non completamente.

probability convergence

— Manuel
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Sia $\Omega=(0,1)$ con la sigma-algebra Borel $\mathfrak{F}$ e la misura uniforme $\mu$ . Definire

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

e altrimenti. Gli sono ovviamente misurabili sullo spazio di probabilità . $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

figura

Per ogni e tutti è il caso che . Quindi, per definizione, la sequenza converge a (non solo quasi sicuramente!). $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

$0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

che diverge in . $\infty$

— whuber
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Molte grazie!. Due commenti, c'è un motivo per definire invece di ? secondo, dovrebbe essere ?

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— Manuel

1. Nessun buon motivo. Mentre ci pensavo su, ho usato il termine per ricordare che in questi punti potrebbe non esserci convergenza. 2. Ho sistemato le battitura, grazie.

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

Sei il indipendente? Sembrano essere per me, cosa che secondo il lemma di Borel Cantelli implicherebbe che la convergenza non è quasi certa.

X_{n}

$X_n$

— Rdrr,

@Rdrr Quindi non dovresti avere problemi a dimostrare che gli non sono indipendenti.

X_{n}

$X_n$

— whuber