Come posso calcolare

Come si può valutare l'aspettativa del normale CDF quadrato in forma chiusa?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Qui, , sono numeri reali, e e sono le funzioni di densità e distribuzione di una normale variabile casuale standard, rispettivamente. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
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Bene, dove rimani bloccato? Hai provato a valutarlo? Forse usa il fatto che

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— bloccato il

Ho provato a valutare l'integrale, usando l'integrazione per parti e altre (semplici) tecniche, ma ciò non mi ha portato da nessuna parte. Inoltre, in realtà sono partito dalla varianza per arrivare qui. Ho trovato una domanda simile ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), ma l'estensione al CDF quadrato non sembra essere banale.

— Andrei,

Hai preso in considerazione l'uso delle coordinate polari?

— StatStudent

No non l'ho fatto, puoi dettagliarmi un po '?

— Andrei,

Se e , allora è distribuito uniformemente tra 0 e 1. Il suo secondo momento è quindi . Ricordo cercando di calcolare qualcosa di simile a quello che si chiede per il generale e , ma ho trovato nessuna soluzione in forma chiusa.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst,

Come notato nel mio commento sopra, controlla Wikipedia per un elenco di integrali delle funzioni gaussiane. Usando la tua notazione, dà dove è la funzione T di Owen definita da

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Se inserisci a otterrai come indicato dai commenti. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— soakley
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Grazie mille, questo è esattamente quello che stavo cercando.

— Andrei,