Stima della camminata casuale con AR (1)

Quando valuto una camminata casuale con un AR (1), il coefficiente è molto vicino a 1 ma sempre inferiore.

Qual è la ragione matematica per cui il coefficiente non è maggiore di uno?

Stimiamo da OLS il modello

$$x_{t} = \rho x_{t-1} + u_t,\;\; E(u_t \mid \{x_{t-1}, x_{t-2},...\}) =0,\;x_0 =0$$

Per un campione di dimensione T, lo stimatore è

$$\hat \rho = \frac {\sum_{t=1}^T x_{t}x_{t-1}}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2} = \rho + \frac {\sum_{t=1}^T u_tx_{t-1}}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2}$$

Se il vero meccanismo di generazione dei dati è una passeggiata casuale pura, allora e$\rho=1$

$$x_{t} = x_{t-1} + u_t \implies x_t= \sum_{i=1}^t u_i$$

La distribuzione campionaria della OLS stimatore, o equivalentemente, la distribuzione campionaria di ρ - 1 , non è simmetrica intorno allo zero, ma piuttosto è inclinata a sinistra dello zero, con ≈ 68 % dei valori ottenuti (cioè ≈ massa di probabilità) essere negativo, e così abbiamo ottenere più spesso di quanto non ρ < 1 . Ecco una distribuzione di frequenza relativa$\hat \rho - 1$$\approx 68$$\approx$$\hat \rho < 1$

$$\begin{align} \text{Mean:} -0.0017773\\ \text{Median:} -0.00085984\\ \text{Minimum: } -0.042875\\ \text{Maximum: } 0.0052173\\ \text{Standard deviation: } 0.0031625\\ \text{Skewness: } -2.2568\\ \text{Ex. kurtosis: } 8.3017\\ \end{align}$$

Questa è talvolta chiamata distribuzione "Dickey-Fuller", poiché è la base per i valori critici utilizzati per eseguire i test Unit-Root con lo stesso nome.

Non ricordo di aver visto un tentativo di fornire intuizione per la forma della distribuzione campionaria. Stiamo esaminando la distribuzione campionaria della variabile casuale

$$\hat \rho - 1 = \left(\sum_{t=1}^T u_tx_{t-1}\right)\cdot \left(\frac {1}{\sum_{t=1}^T x_{t-1}^2}\right)$$

$u_t$$\hat \rho - 1$$\hat \rho - 1$

$T=5$

Se sommiamo le Normative di prodotto indipendenti otteniamo una distribuzione che rimane simmetrica intorno allo zero. Per esempio:

Ma se sommiamo le Normative di prodotto non indipendenti come nel nostro caso otteniamo

che è inclinato a destra ma con più massa di probabilità assegnata ai valori negativi. E la massa sembra essere spinta ancora di più a sinistra se aumentiamo la dimensione del campione e aggiungiamo elementi più correlati alla somma.

Il reciproco della somma dei Gamma non indipendenti è una variabile casuale non negativa con inclinazione positiva.

$\hat \rho -1$

Questa non è davvero una risposta, ma è troppo lunga per un commento, quindi la posterò comunque.

Sono stato in grado di ottenere un coefficiente maggiore di 1 due volte su cento per una dimensione del campione di 100 (usando "R"):

N=100                   # number of trials
T=100                   # length of time series
coef=c()
for(i in 1:N){
 set.seed(i)
 x=rnorm(T)             # generate T realizations of a standard normal variable
 y=cumsum(x)            # cumulative sum of x produces a random walk y
 lm1=lm(y[-1]~y[-T])    # regress y on its own first lag, with intercept
 coef[i]=as.numeric(lm1$coef[1])
}
length(which(coef<1))/N # the proportion of estimated coefficients below 1

Le realizzazioni 84 e 95 hanno un coefficiente superiore a 1, quindi non sono sempre inferiori a 1. Tuttavia, la tendenza è chiaramente quella di avere una stima distorta verso il basso. Le domande rimangono, perché ?

Modifica: le regressioni precedenti includevano un termine di intercettazione che non sembra appartenere al modello. Una volta rimossa l'intercettazione, ottengo molte più stime sopra 1 (3158 su 10000) - ma è ancora chiaramente inferiore al 50% di tutti i casi:

N=10000                 # number of trials
T=100                   # length of time series
coef=c()
for(i in 1:N){
 set.seed(i)
 x=rnorm(T)             # generate T realizations of a standard normal variable
 y=cumsum(x)            # cumulative sum of x produces a random walk y
 lm1=lm(y[-1]~-1+y[-T]) # regress y on its own first lag, without intercept
 coef[i]=as.numeric(lm1$coef[1])
}
length(which(coef<1))/N # the proportion of estimated coefficients below 1