Test di ipotesi di Poisson per due parametri

Quindi, per divertimento, sto prendendo alcuni dei dati delle chiamate dal call center in cui lavoro e sto provando a fare alcuni test di ipotesi su di essi, in particolare il numero di chiamate ricevute in una settimana, e usando una distribuzione Poisson per adattarla. A causa dell'argomento del mio lavoro, ci sono due tipi di settimane, chiamiamone uno su settimane in cui ipotizzo che ci siano più chiamate e fuori settimane in cui ipotizzo che ce ne siano meno.

Ho una teoria secondo cui il da settimane (chiamiamolo ) è più grande di quello da settimane fuori (chiamiamolo$\lambda$$\lambda_1$$\lambda_2$ )

Quindi l'ipotesi che voglio testare è $H_0: \lambda_1 > \lambda_2, H_1: \lambda_1 \leq \lambda_2$

So come testare un parametro (ad esempio ) ma non sono così sicuro su come procedere facendo 2 dato un set di dati. Supponiamo che prenda due settimane di dati da ciascuno e per la settimana off e e per la settimana. Qualcuno può aiutarmi a camminare attraverso questa versione più semplice in modo da poterlo applicare a un set di dati più grande? Ogni aiuto è apprezzato, grazie.$H_0: \lambda_1 > 1, H_1: \lambda_1 \leq 1$$X_1 = 2$$X_2 = 3$$Y_1 = 2$$Y_2=6$

Si noti che normalmente l'uguaglianza va nel nulla (con una buona ragione).

A parte questo problema, citerò un paio di approcci per testare questo tipo di ipotesi

1. Un test molto semplice: condizione sul conteggio totale osservato , che lo converte in un test binomiale di proporzioni. Immaginare che ci sono w on on-settimane e w off off-settimane e w settimane combinato.$n$$w_\text{on}$$w_\text{off}$$w$

Poi sotto l'ipotesi nulla, le proporzioni sono attesi ew$\frac{w_\text{on}}{w}$ rispettivamente. Puoi eseguire un test con una coda della proporzione nelle settimane settimanali abbastanza facilmente.$\frac{w_\text{off}}{w}$

2. È possibile costruire un test a una coda adattando una statistica correlata a un test del rapporto di verosimiglianza; la forma z del Wald-test o un test del punteggio può essere eseguita ad esempio con una coda e dovrebbe funzionare bene per il grandi dimensioni .$\lambda$

Ci sono altre interpretazioni.

Che ne dici di usare appena il GLM con struttura degli errori di Poisson e log-link ??? Ma l'idea del binomio potrebbe essere più potente.

Lo sistemerei con un GLM Poisson o Quasi-Poisson con una preferenza per quasi-Poisson o binomio negativo.

Il problema con l'uso di Poisson tradizionale è che richiede che la varianza e la media siano uguali, cosa che molto probabilmente non è il caso. Il quasi-Poisson o NB stima la varianza senza restrizioni dalla media.

Puoi fare uno di questi in R molto facilmente.

# week on = 1, week off = 0
week.status <- c(1, 1, 0, 0)
calls <- c(2, 6, 2, 3)
model <- glm(calls ~ week.status, family = poisson())
# or change the poisson() after family to quasipoisson() 
# or use the neg binomial glm from the MASS package

L'approccio GLM è vantaggioso e poiché è possibile espandersi per includere variabili aggiuntive (ad esempio, il mese dell'anno) che potrebbero influire sul volume delle chiamate.

Per farlo a mano, probabilmente userei un'approssimazione normale e un test t con due campioni.

Iniziamo con il parametro Stima massima verosimiglianza per Poisson, che è media.

$\hat\lambda_1=\bar Y~~and~~\hat\lambda_2=\bar X$

$\bar Y-\bar X\sim N(\lambda_1-\lambda_2,\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2})$

$\frac{(\bar Y-\bar X)-\lambda_1-\lambda_2}{\sqrt{\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2}}}$

$Z<Critical~Value$

A partire da pagina 125 dell'ipotesi statistica dei test di Casella, viene delineata la risposta al tipo di domanda formulata. Ho allegato un link a un pdf che ho trovato online per riferimento. Ipotesi statistica sui test di Casella, terza edizione .