Disegnando n intervalli in modo uniformemente casuale, probabilità che almeno un intervallo si sovrapponga a tutti gli altri

Disegna casualmente $n$ intervalli da $[0,1]$ , in cui ciascun punto finale A, B viene selezionato dalla distribuzione uniforme tra $[0,1]$ .

Qual è la probabilità che almeno un intervallo si sovrapponga a tutti gli altri?

probability

— Vendetta
fonte

Può consultare la probabilità che l'ultimo tratto

A_{n}

$A_n$ è inferiore al minimo di tutti precedentemente disegnato

A

$A$ , e la probabilità che l'ultima

B_{n}

$B_n$ è maggiore il massimo di tutti precedentemente disegnato

B

$B$ . Questo dovrebbe essere utile. Quindi gonfiare la probabilità di spiegare il fatto che non abbiamo bisogno dell'ultimo , ma di nessuno . (Non ho il tempo di risolverlo, ma sembra un piccolo problema divertente. Buona fortuna!)

— S. Kolassa - Reinstata Monica il

Potrebbe essere in qualche modo sorprendente che (1) la risposta non dipenda dalla distribuzione (solo che è continua) e (2) per

è costante!

n > 1

$n\gt 1$

— whuber

È così che la n ° intervallo è construted: i) traggo due numeri uniformemente a caso da [0,1], ii) lasciare che la più piccola sia

e quella più grande

A_{n}

$A_n$

B_{n}

$B_n$

— ekvall,

Questo post risponde alla domanda e delinea progressi parziali verso la sua dimostrazione corretta.

Per , la risposta è banalmente . Per tutti grande , è (sorprendentemente) sempre . $n=1$ $1$ $n$ $2/3$

Per capire perché, per prima cosa osserva che la domanda può essere generalizzata a qualsiasi distribuzione continua (al posto della distribuzione uniforme). Il processo mediante il quale vengono generati gli intervalli equivale a disegnare variate da e formare gli intervalli $F$ $n$ $2n$ $X_1, X_2, \ldots, X_{2n}$ $F$

[min (X_{1}, X_{2}), max (X_{1}, X_{2})], \dots, [min (X_{2 n - 1}, X_{2 n}), max (X_{2 n - 1}, X_{2 n})] .

$[\min(X_1,X_2), \max(X_1,X_2)], \ldots, [\min(X_{2n-1}, X_{2n}), \max(X_{2n-1}, X_{2n})].$

Poiché tutti i di sono indipendenti, sono intercambiabili. Ciò significa che la soluzione sarebbe la stessa se dovessimo permetterle casualmente tutte. Quindi condizioniamo le statistiche dell'ordine ottenute ordinando la : $2n$ $X_i$ $X_i$

X_{(1)} < X_{(2)} < \dots < X_{(2 n)}

$X_{(1)} \lt X_{(2)} \lt \cdots \lt X_{(2n)}$

(dove, poiché è continuo, non vi è alcuna possibilità che due qualsiasi siano uguali). Gli intervalli si formano selezionando una permutazione casuale e collegandoli a coppie $F$ $n$ $\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}$

[min (X_{σ (1)}, X_{σ (2)}), max (X_{σ (1)}, X_{σ (2)})], \dots, [min (X_{σ (2 n - 1)}, X_{σ (2 n)}), max (X_{σ (2 n - 1)}, X_{σ (2 n)})] .

$[\min(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}), \max(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)})], \ldots, [\min(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)}), \max(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)})].$

Il fatto che due di questi due si sovrappongano o meno non dipende dai valori di , $X_{(i)}$ poiché la sovrapposizione viene preservata da qualsiasi trasformazione monotonica e ci sono trasformazioni che inviano a . Pertanto, senza alcuna perdita di generalità, possiamo prendere e la domanda diventa: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $X_{(i)}$ $i$ $X_{(i)}=i$

Lascia che l'insieme sia suddiviso in doppietti disgiunti. Uno qualsiasi di essi, e (con ), si sovrappongono quando e $\{1,2,\ldots, 2n-1, 2n\}$ $n$ $\{l_1,r_1\}$ $\{l_2,r_2\}$ $l_i \lt r_i$ $r_1 \gt l_2$ $r_2 \gt l_1$ . Supponi che una partizione sia "buona" quando almeno uno dei suoi elementi si sovrappone a tutti gli altri (e altrimenti è "cattivo"). In funzione di , qual è la proporzione di buone partizioni? $n$

Per illustrare, considera il caso . Ci sono tre partizioni, $n=2$

{{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}}, {{1, 3}, {2, 4}},

$\color{gray}{\{\{1,2\},\{3,4\}\}},\ \color{red}{\{\{1,4\},\{2,3\}\}},\ \color{red}{\{\{1,3\},\{2,4\}\}},$

di cui i due buoni (il secondo e il terzo) sono stati colorati di rosso. Così la risposta nel caso è . $n=2$ $2/3$

Possiamo rappresentare graficamente tali partizioni tracciando i punti su una linea numero e disegnare segmenti di linea tra ciascun e , compensazione leggermente per risolvere sovrapposizioni visive. Ecco i grafici delle tre partizioni precedenti, nello stesso ordine con la stessa colorazione: $\{\{l_i,r_i\},\,i=1,2,\ldots,n\}$ $\{1,2,\ldots,2n\}$ $l_i$ $r_i$

D'ora in poi, al fine di adattare facilmente tali trame in questo formato, li trasformerò lateralmente. Ad esempio, ecco le partizioni per , ancora una volta con quelle buone colorate in rosso: $15$ $n=3$

Dieci sono buoni, quindi la risposta per è . $n=3$ $10/15=2/3$

La prima situazione interessante si verifica quando . Ora, per la prima volta, è possibile che l'unione degli intervalli si estenda da a senza che nessuno di essi si intersechi con gli altri. Un esempio è . L'unione dei segmenti di linea scorre ininterrotta da a $n=4$ $1$ $2n$ $\{\{1,3\},\{2,5\},\{4,7\},\{6,8\}\}$ $1$ $8$ ma questa non è una buona partizione. Tuttavia, delle partizioni sono buoni e la proporzione rimane . $70$ $105$ $2/3$

Il numero di partizioni aumenta rapidamente con : equivale a . Elenco esaustivo di tutte le possibilità attraverso continua a produrre come risposta. Le simulazioni Monte-Carlo attraverso (utilizzando iterazioni in ciascuna) non mostrano deviazioni significative da $n$ $1\cdot 3\cdot 5 \cdots \cdot 2n-1 = (2n)!/(2^nn!)$ $n=7$ $2/3$ $n=100$ $10000$ . $2/3$

$2:1$ $X_i$

— whuber
fonte

X_{i}

$X_i$

i i d

$iid$ , che ciò ci consente di considerare qualsiasi permutazione.

— ekvall

@Student "condizionare" significa dire, manteniamo temporaneamente questi valori fissi e consideriamo cosa possiamo imparare da quello. Successivamente, lasceremo che questi valori cambino (in base alla loro distribuzione di probabilità). In questo caso, una volta scoperto che la risposta è

2 / 3

$2/3$ regardless of the fixed values of the order statistics, then we no longer have to carry out the second step of varying the order statistics. Mathematically, the order stats are a vector-valued variable

X

$\mathbf{X}$ and the indicator of being good is

Y

$Y$ , so

E (Y) = E (E (Y | X)) = E (2 / 3) = 2 / 3.

$\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y|\mathbf{X}))=\mathbb{E}(2/3)=2/3.$

— whuber