Che cos'è una regione a più alta densità (HDR)?

In inferenza statistica , problema 9.6b, è menzionato un "regione più alta densità (HDR)". Tuttavia, non ho trovato la definizione di questo termine nel libro.

Un termine simile è la più alta densità posteriore (HPD). Ma non rientra in questo contesto, poiché 9.6b non menziona nulla di un precedente. E nella soluzione suggerita , dice solo che "ovviamente è un HDR".$c(y)$

O l'HDR è una regione che contiene le modalità di un pdf?

Che cos'è una regione a più alta densità (HDR)?

Raccomando l'articolo di Rob Hyndman del 1996 "Calcolo e rappresentazione grafica delle regioni a più alta densità" in The American Statistician . Ecco la definizione di HDR, presa da quell'articolo:

Let $f(x)$ sia la funzione di densità di una variabile casuale $X$ . Quindi il $100(1-\alpha)\%$ HDR è il sottoinsieme $R(f_\alpha)$ dello spazio campione di $X$ tale che

$$R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$$ dove $f_\alpha$ è la costante più grande tale che $$P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$$

La Figura 1 di quell'articolo illustra la differenza tra il 75% di HDR (quindi $\alpha=0.25$ ) e varie altre Regioni di probabilità del 75% per una miscela di due normali ( $c_q$ è il $q$ -esimo quantile, $\mu$ la media e $\sigma$ il deviazione standard della densità):

L'idea in una dimensione è quella di prendere una linea orizzontale e spostarla verso l'alto (su ) fino a quando l'area sopra di essa e sotto la densità è . Quindi l'HDR è la proiezione sull'asse di quest'area. 1 - α R α$y=f_\alpha$$1-\alpha$$R_\alpha$$x$

Naturalmente, tutto questo funziona con qualsiasi densità, sia posteriore bayesiana o altro.

Ecco un link al codice R, che è il hdrcdepacchetto (e all'articolo su JSTOR).

Una densità posteriore [intervallo] più alta è sostanzialmente l'intervallo più breve su una densità posteriore per un determinato livello di confidenza. Una regione a più alta densità è probabilmente la stessa idea applicata a qualsiasi densità arbitraria, quindi non necessariamente una distribuzione posteriore.

Se è il tuo livello di confidenza, puoi sempre trovare due quantili , che ti daranno un intervallo di lavoro. Ce ne sono un sacco però, e tutti hanno lunghezze diverse. Vuoi il più corto.q 1 - α / 2 + c q α / 2 - $1-\alpha$$q_{1-\alpha/2 + c}$$q_{\alpha/2 -c}$

Se la densità è unimodale, quindi l'intervallo più breve avverrà alle due quantili e tali che .a b f ( a ) = f ( b $f(\cdot)$$a$$b$$f(a) = f(b)$