Qual è il significato intuitivo dietro una variabile casuale definita come "reticolo"?

Nella teoria della probabilità, una variabile casuale non negativa viene chiamata reticolo se esiste tale che .$X$$d \geq 0$$\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

Esiste un'interpretazione geometrica del perché questa definizione è chiamata reticolo?

Significa che è discreto e c'è una sorta di spaziatura regolare alla sua distribuzione; cioè, la massa di probabilità è concentrata su un insieme finito / numerabile di punti .$X$${d, 2d, 3d, \dots}$

Si noti che non tutte le distribuzioni discrete sono reticoli. Ad esempio, se può assumere i valori , questo non è un reticolo poiché non esiste una tale che tutti i valori possano essere espressi come multipli di .{ 1 , e , π , 5 } d $X$$\{1, e, \pi, 5\}$$d$$d$

Questa terminologia collega la variabile casuale con i concetti della teoria dei gruppi usati per studiare le simmetrie geometriche. Potresti quindi divertirti a vedere la connessione più generale, che illuminerà il significato e le potenziali applicazioni delle variabili casuali reticolari.

sfondo

In matematica, un "reticolo" è un sottogruppo discreto di un gruppo topologico G (di solito si presume che abbia un covolume finito ).$\mathcal{L}$$G$

• "Discreto" significa che intorno a ciascun elemento è un insieme aperto O g ⊂ L contenente solo g stesso: O g ∪ L = { g } . Sarebbe giusto pensare a L come una "fantasia" o "regolare" disposizione dei punti in G .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• Il gruppo agisce su L "muovendo punti in L intorno a G ", formando un'orbita da ciascuno di essi. Un dominio fondamentale di questa azione è costituito da un singolo punto in ciascuna orbita. G può essere dotato di una misura - la misura di Haar - utilizzato per misurare le dimensioni, o volumi , di Borel sottoinsiemi misurabili di G . È possibile trovare un dominio fondamentale misurabile. Il suo volume è il covolume di L . Quando è finito, possiamo pensare a G come piastrellato da questo dominio fondamentale e agli elementi di L come spostare le tessere.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Qualsiasi coppia di queste figure di cavalluccio marino - dove una è rivolta verso l'alto e l'altra sottosopra - può essere un dominio fondamentale per il reticolo visivamente evidente sul piano euclideo. MC Escher, Sea Horse (n. 11) .

Una variabile casuale "reticolare" è supportata su un reticolo in ( R n , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Ciò significa che tutta la sua probabilità è contenuta nella chiusura del reticolo. Poiché un reticolo è discreto, è chiuso, quindi i valori di sono sul reticolo quasi sicuramente: Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Applicazione

Il gruppo implicito nella domanda è il gruppo additivo di numeri reali, , con la sua solita topologia (euclidea). Come sottogruppo, un reticolo L deve includere 0 . Questo da solo non sarà sufficiente, perché il quoziente R / { 0 } ha un volume infinito ("volume" = "lunghezza" in questo caso 1D). Così v'è almeno un elemento diverso da zero g ∈ L . Tutti i poteri di questo elemento devono anche essere nel sottogruppo. Poiché l'operazione è aggiunta , il n esima potenza di g è n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. Pertanto contiene tutti i multipli integrali di g (compresi quelli negativi).$\mathcal{L}$$g$

Se ci sono due elementi che non sono poteri l'uno dell'altro, è facile mostrare (usando un po 'di teoria dei numeri) che (1) tutte le combinazioni n g + m h , per n , m ∈ Z , sono in corrispondenza uno a uno con le coppie ordinate ( m , n ) e (2) queste combinazioni sono dense in R , il che significherebbe che L non è discreta. Da ciò è semplice concludere che tutti gli elementi in L sono poteri di un singolo numero$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ Questo è ilgeneratoredi .$\mathcal{L}$

(Un argomento analogo mostra che i reticoli in devono avere n generatori. I generatori per l'acquerello Escher potrebbero essere, diciamo, una traduzione di due unità verso il basso e una traduzione di un'unità in basso e di un'unità a destra, approssimativamente. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

Di conseguenza, corrispondente a qualsiasi variabile casuale reticolare a valore reale su ( R , + ) deve essere un generatore g ≠ 0 , da cui$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

La definizione nella domanda può quindi essere intesa come quella di una variabile reticolare non negativa . Potremmo anche stabilire che , altrimenti X è supportato nel sottogruppo { 0 } che, avendo un covolume infinito, non è un reticolo.$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Generalizzazione

I numeri reali positivi formano un gruppo moltiplicativo. Un reticolo su questo gruppo avrà la forma L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ per alcuni g > 0 . (Il covolume di questo reticolo è | log ( g ) | .) Di conseguenza, qualsiasi variabile casuale Y per la quale$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

potrebbe essere considerata una variabile reticolare su questo gruppo. Evidentemente, sarebbe una variabile reticolare su ( R , + ) .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$