La differenza tra controllo e trattamento deve essere modellata in modo esplicito o implicito?

Data la seguente configurazione sperimentale:

Vengono prelevati più campioni da un soggetto e ogni campione viene trattato in più modi (incluso un trattamento di controllo). Ciò che è principalmente interessante è la differenza tra il controllo e ciascun trattamento.

Mi vengono in mente due semplici modelli per questi dati. Con il campione , il trattamento , il trattamento 0 come controllo, lascia che sia il dato, sia la base del campione , sia la differenza per il trattamento . Il primo modello esamina sia il controllo che la differenza: $i$ $j$ $Y_{ij}$ $\gamma_i$ $i$ $\delta_j$ $j$

Y_{i j} = γ_{i} + δ_{j} + ϵ_{i j}

$Y_{ij}=\gamma_i+\delta_j+\epsilon_{ij}$

δ_{0} = 0

$\delta_0=0$

Mentre il secondo modello osserva solo la differenza. Se precalculate anticipo poi $d_{ij}$

d_{i j} = Y_{i j} - Y_{i 0}

$d_{ij}=Y_{ij}-Y_{i0}$

d_{i j} = δ_{j} + ε_{i j}

$d_{ij}=\delta_j+\varepsilon_{ij}$

La mia domanda è: quali sono le differenze fondamentali tra queste due configurazioni? In particolare, se i livelli sono insignificanti in se stessi e conta solo la differenza, il primo modello sta facendo troppo ed è forse sottodimensionato?

— Rónán Daly
fonte

Posso dare una risposta più approfondita in seguito, ma suggerirei che questo articolo di Paul Allison sarebbe interessante ( Allison, 1990 ).

— Andy W,

Modificato per riflettere il fatto che gli errori nei diversi modelli non sono effettivamente gli stessi e quindi non dovrebbero usare gli stessi simboli.

— Rónán Daly,

È sia correlato nel secondo modello ma non nel primo. $\epsilon_{ij}$

Nel primo, questi termini rappresentano errori di misurazione e deviazioni dal modello additivo. Con ragionevole cura, ad esempio randomizzando la sequenza delle misurazioni, tali errori possono essere resi indipendenti quando il modello è accurato. da cui

d_{i j} = Y_{i j} - Y_{i 0} = γ_{i} + δ_{j} + ϵ_{i j} - (γ_{i} + δ_{0} + ϵ_{i 0}) = δ_{j} + (ϵ_{i j} - ϵ_{i 0}) .

$d_{ij} = Y_{ij} - Y_{i0} = \gamma_i + \delta_j + \epsilon_{ij} - (\gamma_i + \delta_0 + \epsilon_{i0}) = \delta_j + (\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}).$

(Si noti che questo contraddice l'ultima equazione nella domanda, perché è errato assumere Farlo ci costringerebbe a riconoscere che i sono variabili casuali piuttosto che parametri, almeno una volta che riconosciamo il possibilità di errore di misurazione per il controllo. Ciò porterebbe alle stesse conclusioni di seguito.) $\epsilon_{i0}=0$ $\gamma_i$

Per , questo implica $j, k \ne 0$ $j \ne k$

C o v (d_{i j}, d_{i k}) = C o v (ϵ_{i j} - ϵ_{i 0}, ϵ_{i k} - ϵ_{i 0}) = V a r (ϵ_{i 0}) \neq 0.

$Cov(d_{ij}, d_{ik}) = Cov(\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}, \epsilon_{ik} - \epsilon_{i0}) = Var(\epsilon_{i0}) \ne 0.$

La correlazione può essere sostanziale. Per errori iid, un calcolo simile mostra che è uguale a 0,5. A meno che non si stiano utilizzando procedure che gestiscono in modo esplicito e corretto questa correlazione, favorire il primo modello rispetto al secondo.

— whuber
fonte

Quindi, hai presupposto che il primo modello sia il modello vero e che tu abbia derivato una proprietà indesiderabile del secondo modello. Sappiamo che tutti i modelli sono sbagliati, quindi questo risultato è davvero significativo?

— Macro

@Macro Per favore leggi più attentamente la mia risposta: è stato creato per mostrare quali ipotesi sono necessarie per giustificare il primo modello e distinguerlo dal secondo, ma non contiene ipotesi che qualsiasi modello sia "vero". Ad esempio, notare l'avvertenza "quando il modello è preciso". Perfino la parola "preciso" è stata scelta con un pensiero per evitare la cattiva impressione che esista un modello "vero" o "corretto".

— whuber

Sono un po 'confuso, cos'è ?

d_{i k}

$d_{ik}$

— Andy W,

@Andy e indicizzano due trattamenti distinti. Avrei dovuto scrivere "Per ..."; Risolverò quel refuso. Grazie per averlo catturato.

j

$j$

k

$k$

j, k \neq 0

$j,k \ne 0$

— whuber

@whuber Ci sono riferimenti che supportano la tua affermazione, ad esempio per convincere i recensori?

— Daniel,