Ho una linea della migliore vestibilità. Ho bisogno di punti dati che non cambieranno la mia linea di adattamento migliore

Sto dando una presentazione sulle linee di adattamento. Ho una semplice funzione lineare, . Sto cercando di ottenere punti di dati sparsi che posso inserire in un diagramma a dispersione che manterrà la mia linea più adatta alla stessa equazione.$y=1x+b$

Mi piacerebbe imparare questa tecnica in R o Excel, a seconda di quale sia la più semplice.

Scegli una $(x_i)$ purché almeno due differiscano. Impostare un'intercetta $\beta_0$ e la pendenza $\beta_1$ e definire

Questa vestibilità è perfetta. Senza modificare l'adattamento, è possibile modificare $y_0$ in $y = y_0 + \varepsilon$ aggiungendo qualsiasi vettore di errore $\varepsilon=(\varepsilon_i)$ a condizione che sia ortogonale sia al vettore $x = (x_i)$ che al vettore costante $(1,1,\ldots, 1)$ . Un modo semplice per ottenere un tale errore è quello di selezionare qualsiasi vettore $e$ e lasciare $\varepsilon$ siano i residui dopo aver regredito $e$contro $x$ . Nel codice seguente, $e$ viene generato come un insieme di valori normali casuali indipendenti con media $0$ e deviazione standard comune.

Inoltre, puoi anche preselezionare la quantità di scatter, magari stabilendo quale dovrebbe essere $R^2$ . Lasciare $\tau^2 = \text{var}(y_i) = \beta_1^2 \text{var}(x_i)$ , ridimensionare i residui per avere una varianza di

Questo metodo è del tutto generale: tutti i possibili esempi (per un dato set di $x_i$ ) possono essere creati in questo modo.

Esempi

Quartetto di Anscombe

Possiamo facilmente riprodurre il Quartetto di Anscombe di quattro set di dati bivariati qualitativamente distinti con le stesse statistiche descrittive (attraverso il secondo ordine).

Il codice è straordinariamente semplice e flessibile.

set.seed(17)
rho <- 0.816                                             # Common correlation coefficient
x.0 <- 4:14
peak <- 10
n <- length(x.0)

# -- Describe a collection of datasets.
x <- list(x.0, x.0, x.0, c(rep(8, n-1), 19))             # x-values
e <- list(rnorm(n), -(x.0-peak)^2, 1:n==peak, rnorm(n))  # residual patterns
f <- function(x) 3 + x/2                                 # Common regression line

par(mfrow=c(2,2))
xlim <- range(as.vector(x))
ylim <- f(xlim + c(-2,2))
s <- sapply(1:4, function(i) {
  # -- Create data.
  y <- f(x[[i]])                                         # Model values
  sigma <- sqrt(var(y) * (1 / rho^2 - 1))                # Conditional S.D.
  y <- y + sigma * scale(residuals(lm(e[[i]] ~ x[[i]]))) # Observed values

  # -- Plot them and their OLS fit.
  plot(x[[i]], y, xlim=xlim, ylim=ylim, pch=16, col="Orange", xlab="x")
  abline(lm(y ~ x[[i]]), col="Blue")

  # -- Return some regression statistics.
  c(mean(x[[i]]), var(x[[i]]), mean(y), var(y), cor(x[[i]], y), coef(lm(y ~ x[[i]])))
})
# -- Tabulate the regression statistics from all the datasets.
rownames(s) <- c("Mean x", "Var x", "Mean y", "Var y", "Cor(x,y)", "Intercept", "Slope")
t(s)

L'output fornisce le statistiche descrittive del secondo ordine per i dati $(x,y)$ per ciascun set di dati. Tutte e quattro le linee sono identiche. Puoi facilmente creare altri esempi modificando x(le coordinate x) e e(i modelli di errore) all'inizio.

simulazioni

R$y$$\beta=(\beta_0,\beta_1)$$R^2$$0 \le R^2 \le 1$$x$

simulate <- function(x, beta, r.2) {
  sigma <- sqrt(var(x) * beta[2]^2 * (1/r.2 - 1))
  e <- residuals(lm(rnorm(length(x)) ~ x))
  return (y.0 <- beta[1] + beta[2]*x + sigma * scale(e))
}

(Non sarebbe difficile portarlo su Excel - ma è un po 'doloroso.)

$(x,y)$$60$ $x$$\beta=(1,-1/2)$( ovvero intercetta$1$ e pendenza $-1/2$), e $R^2 = 0.5$.

n <- 60
beta <- c(1,-1/2)
r.2 <- 0.5   # Between 0 and 1

set.seed(17)
x <- rnorm(n)

par(mfrow=c(1,4))
invisible(replicate(4, {
  y <- simulate(x, beta, r.2)
  fit <- lm(y ~ x)
  plot(x, y)
  abline(fit, lwd=2, col="Red")
}))

Eseguendo summary(fit)è possibile verificare che i coefficienti stimati siano esattamente come specificato e il multiplo$R^2$è il valore desiderato. Altre statistiche, come il valore p di regressione, possono essere regolate modificando i valori di$x_i$.