Distingue tra effetti a breve e lungo termine

Ho letto in un documento la seguente frase:

Il fatto che vi sia una differenza tra coefficienti a breve e a lungo termine è il risultato delle nostre specifiche che includono variabili endogene ritardate.

Eseguono una regressione nelle prime differenze e includono un ritardo della variabile dipendente.
Ora sostengono che se si guarda una stima (es. Chiamiamo questa stima ) dall'output, questo è l'effetto a breve termine di sulla variabile dipendente. Inoltre sostengono che guardando / (1 - stima del ritardo) si ottiene l'effetto a lungo termine di p sulla variabile dipendente.$p$$p$
$p$

Il documento può essere trovato: https://www.ecb.europa.eu/pub/pdf/scpwps/ecbwp1328.pdf e la loro discussione sull'effetto a breve / lungo termine a pagina 20 nella nota 23.

Non capisco esattamente perché puoi distinguere tra l'effetto a breve e quello a lungo termine di sulla variabile dipendente. Se qualcuno potesse spiegare la sua idea in modo più dettagliato sarebbe molto utile.$p$

Supponiamo di avere un modello

$$y_t=\alpha+\beta y_{t-1}+\gamma x_t+\varepsilon_t.$$ $\gamma$ misura l'effetto istantaneo (o l'effetto a breve termine ) di $x_t$ su $y$ .

Si noti che $y_{t-1}$ è incluso nel modello. Poiché $x_t$ ha un effetto su $y_t$ , anche $x_t$ avrà un effetto su $y_{t+1}$ attraverso la variabile dipendente ritardata e la dimensione di questo effetto sarà $\beta \gamma x_t$ .

La storia non finisce qui. L'effetto di $x_t$ su $y_{t+2}$ sarà $\beta^2 \gamma x_t$ . L'effetto di $x_t$ su $y_{t+3}$ sarà $\beta^3 \gamma x_t$ . E così via e così via. Se sommi l'effetto istantaneo e tutti gli effetti ritardati fino all'infinito futuro, otterrai l'effetto cumulativo di $x_t$ su $y$ che sarà $\frac{1}{1-\beta}\gamma x_t$(dove usi una formula per la somma infinita di una serie geometrica in decomposizione, vediWikipedia). Questo è ciò che viene chiamato l'effetto a lungo termine.

Il modello sopra può essere generalizzato a strutture lag più complesse, ma l'idea rimane la stessa; variabili dipendenti ritardate perpetuano un effetto in un futuro infinito.