Derivazione della funzione di probabilità per IV-probit


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Quindi ho un modello binario in cui è la variabile latente non osservata e l'osservato. determina e è quindi il mio strumento. Quindi in breve il modello è. Poiché i termini di errore non sono indipendenti ma, Uso un modello IV-probit.y1y1{0,1}y2y1z2

y1=δ1z1+α1y2+u1y2=δ21z1+δ22z2+v2=zδ+v2y1=1[y>0]
(u1v2)~N(0,[1ηητ2]).

Ho problemi a derivare la funzione di verosimiglianza. Capisco di poter scrivere uno dei termini di errore come una funzione lineare dell'altro, quindi e che dovrebbero essere usati per imporre un normale CDF.

u1=ητ2v2+ξ,doveξ~N(0,1-η2).

ξ

Ho cercato nel IV-probit nel manuale Stata ( http://www.stata.com/manuals13/rivprobit.pdf ) e suggeriscono di usare la definizione della densità condizionale

f(y1,y2|z)=f(y1|y2,z)f(y2|z)

al fine di derivare la funzione di verosimiglianza, ma in realtà no usalo (e sì, finisco con il risultato sbagliato ...). Il mio tentativo finora è,

L(y1)=Πio=1nPr(y1=0|y2,z)1-y1Pr(y1=1|y2,z)y1=Πio=1nPr(y1*0)1-y1(Pr(y1*>0)f(y2|z))y1[Standardizzazione]=Πio=1nPr(ξ1-η2-δ1z1+α1y2+ητ2(y2-z)1-η2)1-y1(Pr(ξ1-η2<δ1z1+α1y2+ητ2(y2-z)1-η2)f(y2|z))y1=[1-Φ(w)]1-yio[Φ(w)f(y2|X)]y1
Come ho detto, non ho usato la definizione per la funzione di densità articolare come indicato sopra. Inoltre, finisco con anche f (y_2 \ mid \ textbf {z})f(y2|z) sollevato a y1 che sembra essere sbagliato. Qualcuno può darmi un suggerimento su come derivare la funzione di probabilità (log-) corretta o dove ho sbagliato?

Risposte:


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Ricorda che per una variabile normale bivariata la distribuzione condizionale di data è

(XY)~N([μXμY],[σX2ρσXσYρσXσYσY2]),
YX
Y|X~N(μY+ρσYX-μXσX,σY[1-ρ2]).

Nel caso presente, abbiamo che significa che dove (e questo è stato il tuo primo errore)

u1|v2~N(0+η1τ1v2-0τ,1[1-(η1τ)2])=N(ητ2v2,1-η2τ2),
u1=ητ2v2+ξ
ξ~N(0,1-η2τ2).

Possiamo così riscrivere la prima equazione

y1*=δ1z1+α1y2+u1=δ1z1+α1y2+ητ2v2+ξ=δ1z1+α1y2+ητ2(y2-zδ)+ξ.

Ora, ricorda che la funzione di densità di probabilità condizionale di dato è X=XY=y

fX(X|y)=fXY(X,y)fY(y).

Nel caso presente, abbiamo che può essere riorganizzato sulla tua espressione

f1(y1|y2,z)=f12(y1,y2|z)f2(y2|z),
f12(y1,y2|z)=f1(y1|y2,z)f2(y2|z).

Quindi, possiamo scrivere la probabilità in funzione della densità dei due shock indipendenti : v1,ξ1

L(y1,y2|z)=Πionf1(y1io|y2io,zio)f2(y2io|zio)=ΠionPr(y1io=1)y1ioPr(y1io=0)1-y1iof2(y2io|zio)=ΠionPr(y1io*>0)y1ioPr(y1io*0)1-y1iof2(y2io|zio)=ΠionPr(δ1z1io+α1y2io+ητ2(y2io-zioδ)+ξio>0)y1ioPr(δ1z1io+α1y2io+ητ2(y2io-zioδ)+ξio0)1-y1iof2(y2io|zio)=ΠionPr(ξio>-[δ1z1io+α1y2io+ητ2(y2io-zioδ)])y1ioPr(ξio-[δ1z1io+α1y2io+ητ2(y2io-zioδ)])1-y1iof2(y2io|zio)=ΠionPr(ξio-01-η2τ2>-δ1z1io+α1y2io+ητ2(y2io-zioδ)+01-η2τ2)y1ioPr(ξio-01-η2τ2-δ1z1io+α1y2io+ητ2(y2io-zioδ)+01-η2τ2)1-y1iof2(y2io|zio)=ΠionPr(ξio1-η2τ2>-wio)y1ioPr(ξio1-η2τ2-wio)1-y1iof2(y2io|zio)=Πion[1-Pr(ξio1-η2τ2-wio)]y1ioPr(ξio1-η2τ2-wio)1-y1iof2(y2io|zio)=Πio[1-Φ(-wio)]y1ioΦ(-wio)1-y1ioφ(y2io-zioδτ)=ΠionΦ(wio)y1io[1-Φ(wio)]1-y1ioφ(y2io-zioδτ)=Φ(w)y1[1-Φ(w)]1-y1φ(y2-zδτ)
dove e sono la funzione di densità cumulativa e la funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standard.
wio=δ1z1io+α1y2io+ητ2(y2io-zioδ)1-η2τ2.
Φ(z)φ(z)
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