Distribuzioni non normali con zero asimmetria e zero curtosi in eccesso?

Domanda prevalentemente teorica. Ci sono esempi di distribuzioni non normali che hanno i primi quattro momenti uguali a quelli della normale? Potrebbero esistere in teoria?

Sì, esempi con asimmetria e curtosi in eccesso entrambi zero sono relativamente facili da costruire. (In effetti gli esempi da (a) a (d) di seguito hanno anche un'asimmetria mediana-mediana di Pearson 0)

(a) Ad esempio, in questa risposta viene fornito un esempio prendendo una miscela 50-50 di una gamma gamma, (che io chiamo $X$ ), e il negativo di un secondo, che ha una densità che assomiglia a questo:

Chiaramente il risultato è simmetrico e non normale. Il parametro di scala non è importante qui, quindi possiamo farlo 1. La scelta attenta del parametro di forma della gamma produce la curtosi richiesta:

1. La varianza di questa doppia gamma ( $Y$ ) è facile da capire in termini di gamma gamma su cui si basa: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .

2. Il quarto momento centrale della variabile $Y$ è uguale a $E(X^4)$ , che per una gamma ( $\alpha$ ) è $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Di conseguenza la curtosi è $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . Questo è$3$quando$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$, che si verifica quando$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$.

(b) Potremmo anche creare un esempio come una miscela in scala di due uniformi. Lascia $U_1\sim U(-1,1)$ e lascia $U_2\sim U(-a,a)$ e lascia $M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$. Chiaramente, considerando che$M$è simmetrica e ha un intervallo finito, dobbiamo avere$E(M)=0$; l'asimmetria sarà anche 0 e i momenti centrali e i momenti grezzi saranno gli stessi.

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$.

Allo stesso modo, $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$e quindi la curtosi è$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Se scegliamo $a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$, quindi la curtosi è 3 e la densità è simile alla seguente:

(c) ecco un esempio divertente. Sia $X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$ , per $i=1,2$ .

Sia $Y$ una miscela 50-50 di $\sqrt{X_1}$ e$-\sqrt{X_2}$ :

per simmetria $E(Y)=0$ (abbiamo anche bisogno che $E(|Y|)$ sia finito ma dato che $E(X_1)$ è finito, lo abbiamo)

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

per simmetria (e il fatto che esista il terzo momento assoluto) inclinazione = 0

4 ° momento: $E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

curtosi = $\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

quindi quando $\lambda=\frac12$ , la curtosi è 3. Questo è il caso illustrato sopra.

(d) tutti i miei esempi finora sono stati simmetrici, poiché le risposte simmetriche sono più facili da creare - ma sono anche possibili soluzioni asimmetriche. Ecco un esempio discreto.

Come vedi, nessuno di questi esempi sembra particolarmente "normale". Sarebbe semplice creare un numero qualsiasi di variabili discrete, continue o miste con le stesse proprietà. Mentre la maggior parte dei miei esempi sono stati costruiti come miscele, non c'è niente di speciale nelle miscele, a parte il fatto che sono spesso un modo conveniente per fare distribuzioni con le proprietà nel modo desiderato, un po 'come costruire cose con Lego.

Questa risposta fornisce alcuni dettagli aggiuntivi sulla curtosi che dovrebbero chiarire alcune delle considerazioni relative alla costruzione di altri esempi.

Potresti abbinare più momenti in modo simile, anche se richiede uno sforzo maggiore per farlo. Tuttavia, poiché esiste l'MGF della normale, non è possibile abbinare tutti i momenti interi di una normale a una distribuzione non normale, poiché ciò significherebbe che la loro MGF corrisponde, implicando che anche la seconda distribuzione era normale.

I punti positivi sono fatti da Glen_b. Vorrei solo considerare la funzione Dirac Delta come ulteriore aiuto per il mulino. Come osserva Wikipedia, "Il DDF è una funzione generalizzata, o distribuzione, sulla linea numerica reale che è zero ovunque tranne che a zero, con un integrale di uno sull'intera linea reale" con la conseguenza che tutti i momenti più alti del DDF sono zero.

Paul Dirac lo applica alla meccanica quantistica nel suo libro The Principles of Quantum Mechanics del 1931, ma le sue origini risalgono a Fourier, Lesbesgue, Cauchy e altri. Il DDF ha anche analoghi fisici nel modellare la distribuzione, ad esempio, del crack di una mazza che colpisce una palla da baseball.