Qual è l'errore standard della deviazione standard del campione?

Ho letto da lì che l'errore standard della varianza del campione è

S E_{s^{2}} = \sqrt{\frac{2 σ^{4}}{N - 1}}

$SE_{s^2} = \sqrt{\frac{2 \sigma^4}{N-1}}$

Sarei tentato di indovinare e dire che ma non ne sono sicuro. $SE_{s} = \sqrt{SE_{s^2}}$

sampling standard-deviation standard-error

— Remi.b
fonte

Intendi l'errore standard della varianza del campione / deviazione standard immagino? Se sì, hai in mente qualche distribuzione particolare?

— Alecos Papadopoulos,

Sì, questo è ciò che intendevo. Ho modificato il mio post in risposta al tuo commento grazie. Sono sorpreso che mi stai chiedendo quale distribuzione ho in mente. Non mi sarei aspettato che importasse. No, non ho in mente una distribuzione particolare. La forma della popolazione su cui è stato prelevato il mio campione probabilmente non è normale. Probabilmente è leggermente inclinato e ha code molto lunghe.

— Remi.b,

Asintoticamente "non importa". In campioni finiti lo fa certamente. Per la risposta asintotica, consultare stats.stackexchange.com/a/105338/28746

— Papadopoulos,

E poi chiedi l'errore standard dell'errore standard dell'errore standard ...

— kjetil b halvorsen

@Kjetil Il tuo pensiero è divertente. Si noti, tuttavia, che la SE qui definita non è una variabile casuale; non ha errori standard. Spesso si stima la SE utilizzando una stima di

σ^{4}

$\sigma^4$ e spesso - da un abuso del linguaggio convenzionale - chiama ancora che stima SE "un errore standard." In quanto tale, è davvero una variabile casuale e avrà un errore standard. Sono sicuro che sei consapevole della distinzione (e che avevi in mente quando hai scritto il tuo commento), ma voglio enfatizzarlo in modo che la gente non fraintenda la domanda originale come risultato della riflessione sul tuo commento.

— whuber

Let . Quindi, la formula per SE di è: $\mu_4 = E(X-\mu)^4$ $s^2$

s e (s^{2}) = \sqrt{\frac{1}{n} (μ_{4} - \frac{n - 3}{n - 1} σ^{4})}

$se(s^2) = \sqrt{ \frac{1}{n}\left(\mu_4 -\frac{n-3}{n-1} \sigma^4\right)}$ Questa è una formula esatta, valido per qualsiasi dimensione e distribuzione del campione, ed è dimostrato a pagina 438, di Rao, 1973, supponendo che sia finito. La formula fornita nella domanda si applica solo ai dati normalmente distribuiti.

μ_{4}

$\mu_4$

Let . Vuoi trovare la SE di , dove . $\hat{\theta} = s^2$ $g(\hat{\theta})$ $g(u) = \sqrt{u}$

Non esiste una formula esatta generale per questo errore standard, come sottolineato da @Alecos Papadopoulos. Tuttavia, è possibile determinare un errore standard approssimativo (campione di grandi dimensioni) mediante il metodo delta. (Vedi la voce di Wikipedia per "metodo delta").

Ecco come lo ha scritto Rao, 1973, 6.a.2.4. Includo gli indicatori di valore assoluto, che ha omesso erroneamente.

s e (g (\hat{θ})) \approx | g^{'} (\hat{θ}) | \times s e (\hat{θ})

$se(g(\hat{\theta})) \approx |g'(\hat\theta)|\times se(\hat{\theta})$ dove è il primo derivato.

g^{'}

$g'$

Ora per la funzione radice quadrata $g$

g^{'} (u) = \frac{1}{2 u^{1 / 2}}

$g'(u) = \frac{1}{2\thinspace u^{1/2}}$

Così:

s e (s) \approx \frac{1}{2 σ} s e (s^{2})

$se(s)\approx \frac{1}{2 \sigma} se(s^2)$

In pratica, stimerei l'errore standard dal bootstrap o dal jackknife.

Riferimento:

CR Rao (1973) Linear Statistical Inference e sue applicazioni 2nd Ed, John Wiley & Sons, NY

— Steve Samuels
fonte

+1 È bello vedere questi risultati così chiaramente definiti e spiegati. Anche se non ho Rao 1973 di fronte a me, mi aspetto che il fattore moltiplicativo nella sua formula dovrebbe essere, poiché altrimenti potresti concludere che qualsiasi trasformazione di inversione degli ordini avrebbe un errore standard negativo.

| g^{'} (\hat{θ}) |

$|g^\prime(\hat\theta)|$

— whuber

Grazie. Hai ragione sul valore assoluto. Rao l'aveva omesso (equazione 6.a.2.4 in entrambe le edizioni del 1968 e del 1973). La prova del metodo delta è in realtà per la varianza, dove il moltiplicatore è [g '] ^ 2.

— Steve Samuels,

qual è il bootstrap e il coltellino?

— alpha_989,

@ alpha_989 I metodi bootstrap e jackknife usano il ricampionamento per stimare la precisione. Sono utili perché non è necessario eseguire manualmente la propagazione dell'errore.

— Ben Jones,