Se tutti i 1000 pazienti test non sono curati dal farmaco, non possiamo dire che accettiamo l'ipotesi nulla?

In molti posti ho letto che non possiamo mai dire che "accettiamo" l'ipotesi nulla. Invece dobbiamo dire che "non riusciamo a respingere" l'ipotesi nulla.

Ma non vedo come questo quadrato con questo semplice esempio: supponiamo di testare un farmaco che dovrebbe curare completamente il diabete entro 24 ore. Lo proviamo su 1000 pazienti e tutti hanno ancora il diabete dopo aver assunto il farmaco.

Non è ovvio che questo farmaco non cura il diabete? cioè che accettiamo l'ipotesi nulla?

Certamente non avrei fiducia in questo farmaco.

Ipotesi nulla: il farmaco non ha alcun effetto sui pazienti.

Ipotesi alternativa: il farmaco cura il diabete

Possibilità uno: il farmaco ha un effetto molto piccolo. Forse cura lo 0,0101% delle persone che lo assumono. Il test che hai delineato implica solo che non ci sono prove sufficienti per la drammatica alternativa che hai proposto.

Possibilità due: il farmaco ha un effetto negativo molto forte. (merito a @ssdecontrol) Forse il farmaco non ha alcun effetto e tutti quei pazienti sarebbero migliorati da soli, ma a causa del farmaco nessuno dei pazienti si è ripreso.

Senza alcuna conoscenza preliminare, i dati sarebbero coerenti con queste possibilità e con la possibilità che il valore nullo sia vero.

Quindi, non riuscire a rifiutare il nulla non implica che il nulla sia più vero di queste altre possibilità.

Ci sono alcune buone risposte qui, ma ciò che penso sia il problema chiave non è esplicitamente indicato da nessuna parte. In breve, la formulazione delle ipotesi null e alternative non è valida. Le ipotesi null e alternative devono essere reciprocamente esclusive (cioè non possono essere entrambe vere). La tua formulazione soddisfa questo criterio. Tuttavia, devono anche essere collettivamente esaustivi (ovvero, uno di essi deve essere vero). La tua formulazione non soddisfa questo criterio.

Non è possibile avere un'ipotesi nulla che il farmaco abbia una probabilità dello di curare il diabete e un'ipotesi alternativa che il farmaco abbia una probabilità del di curare il diabete. Immagina che la vera probabilità che il farmaco curerà il diabete è del , quindi sia le tue ipotesi nulle che alternative sono false. Questo è il tuo problema $0\%$$100\%$$50\%$

L'ipotesi nulla prototipica è un valore in punti (ad es. sulla riga del numero reale, o il più spesso quando si fa riferimento alle probabilità, ma queste sono solo convenzioni). Inoltre, se si lavora con uno spazio di parametri limitato (come in questo caso, le probabilità devono variare entro ), è generalmente problematico provare a testare valori che sono ai limiti (ovvero o ). Avendo scelto un valore in punti come il tuo null (il valore che vuoi rifiutare), puoi ottenere prove contro di esso, ma non puoi ottenere prove per esso dai tuoi dati (vedi @ risposta perspicace di John ). Per capirlo ulteriormente, può aiutarti a leggere la mia risposta qui:$0$$50\%$$[0,\ 1]$$0$$1$Perché gli statistici dicono che un risultato non significativo significa "non si può rifiutare il nulla" invece di accettare l'ipotesi nulla? Per applicare queste idee alla tua situazione in modo più concreto, anche se il tuo null fosse (e quindi la tua ipotesi alternativa fosse ), e tu avessi provato il farmaco su pazienti senza un solo essere guarito, non potresti accettare la tua ipotesi nulla: i dati sarebbero comunque coerenti con la possibilità che la probabilità fosse (vedi: Come dire la probabilità di fallimento se non ci fossero guasti? ). $0\%$$\pi\ne 0$$100,\!000$$0.00003$

D'altra parte, non è necessario avere un punto null. Le ipotesi null a una coda (cioè ) non sono punti, per esempio. Sono insiemi di punti infiniti. Allo stesso modo, potresti anche avere un'ipotesi di intervallo / intervallo (ad esempio, che il parametro sia compreso tra ). In tal caso, puoi accettare il tuo null in base all'evidenza: questo è il test di equivalenza. (Puoi ancora fare un errore di tipo I, ovviamente.) $< \theta_0$$[a,\ b]$

Come hanno commentato gli altri utenti, il problema con l'accettazione dell'ipotesi nulla è che non abbiamo prove sufficienti (né lo faremo mai) per concludere che l'effetto è esattamente 0. Matematicamente, il test delle ipotesi non è generalmente in grado di rispondere a tali domande .

Tuttavia, ciò non significa che l'intento della tua domanda non sia valido! In effetti, questo è in genere l'intento negli studi clinici per i generici di farmaci: l'obiettivo non è dimostrare che hai prodotto un farmaco più efficace, ma piuttosto che il tuo farmaco è essenzialmente efficace quanto il nome del marchio (e puoi produrre ad un costo molto più basso). L'equivalenza è in genere considerata l'ipotesi nulla.

Per rispondere a questa domanda utilizzando il test delle ipotesi, la domanda viene riformata in modo tale da poter rispondere. La domanda riformattata è simile a questa:

$H_o: \beta_g \leq \beta_{nb}\times 0.75$

$H_a: \beta_g > \beta_{nb} \times 0.75$

dove è l'effetto del generico e è l'effetto del nome del farmaco di marca. Quindi ora se rifiutiamo l'ipotesi nulla, possiamo concludere che il generico è almeno del 75% efficace quanto il nome del marchio. Chiaramente, questo non equivale a dire esattamente equivalente, ma arriva alla domanda che ti interessa (e in un modo che credo sia una domanda matematicamente più ragionevole).β n $\beta_g$$\beta_{nb}$

Possiamo affrontare la tua domanda in modo simile. Invece di provare a dire "abbiamo abbastanza prove per concludere l'effetto 0?", Possiamo chiedere "dati i nostri dati, qual è l'effetto massimo per il quale i nostri risultati non erano troppo insoliti?". Con e 0 successi, possiamo affermare che abbiamo prove sufficienti per concludere che la probabilità di successo è inferiore allo 0,3% (sulla base del test esatto di Fisher, ).α = $n = 1000$$\alpha = 0.05$

Da questo risultato, sicuramente puoi ancora concludere che questa non è una droga in cui avrai fiducia.

Supponiamo che il farmaco funzioni, ma solo su 0,0000% della popolazione. Il farmaco funziona, punto. Quali sono le probabilità di rilevare, statisticamente, che funziona su un campione di 10000 persone? 100.000 persone? 1.000.000 di persone?

Non è corretto affermare che non si può mai accettare l'ipotesi nulla. Stai portando le informazioni del libro di testo fuori contesto. Quello che non puoi fare è usare un test di ipotesi nulla per accettarlo. Il test è per rifiutare l'ipotesi. Nota che il tuo argomento per accettare ha poco a che fare con un risultato del test. Riguarda i dati. Sarebbe piuttosto insensato eseguire un test nel tuo esempio. Puoi utilizzare i tuoi dati per sostenere che accetti l'ipotesi nulla. Non c'è niente di sbagliato in questo. Non puoi semplicemente usare i risultati del test per farlo.

Il motivo per cui non è possibile utilizzare un test di ipotesi da solo è perché non è progettato per farlo. Se non lo capisci dai libri di testo è comprensibile. In realtà è un paradosso interessante che il valore p significhi effettivamente qualcosa solo se il valore nullo è vero ma non può essere usato per dimostrare che il valore nullo è vero. Per renderlo più semplice, forse basta considerare la sensibilità alla potenza. Potresti sempre raccogliere campioni troppo pochi e non riuscire a rifiutare il null. Dal momento che puoi farlo è chiaro che il test da solo non è un motivo valido per accettare il null. Ma ancora una volta, ciò non significa che non puoi mai dire che il nulla è vero. Significa solo che il test non è una base per sostenere che il nulla è vero.

NOTA : esiste un argomento del rasoio di Occam secondo cui è necessario accettare il valore null quando non si rifiuta; ma il test non ti sta dicendo di accettare il null. Quello che stai facendo è accettare il null come predefinito e se non lo rifiuti con il test, mantieni lo stato predefinito. Quindi anche in questo caso il null non è accettato a causa del test.

Guardando attraverso i tuoi commenti, penso che tu sia molto interessato a questa domanda: perché possiamo accumulare prove sufficienti per respingere il nulla , ma non l' alternativa , cioè cosa rende le ipotesi che testano una strada unilaterale?

La cosa molto importante a cui pensare è quali valori costituisce l'ipotesi nulla? Nel tuo esempio, è solo un singolo valore, , . L'alternativa, al contrario, è . p = 0 p > $i.e.$$p = 0$$p > 0$

Accettiamo l' ipotesi se tutti i "valori ragionevoli" (cioè i valori all'interno del nostro intervallo di confidenza) rientrano completamente nell'intervallo dato da quell'ipotesi. Quindi se tutti i nostri valori ragionevoli sono maggiori di 0, accetteremmo l'alternativa. D'altra parte, l'ipotesi nulla è solo un singolo punto, 0! Quindi per accettare il valore nullo, dovremmo avere un intervallo di confidenza di lunghezza 0 . Poiché (generalmente parlando) l'intervallo di confidenza della lunghezza si avvicina a 0 come , ma non raggiunge la lunghezza 0 per finito , dovremmo raccogliere una quantità infinita di dati per concludere che non abbiamo alcun margine di errore nel nostro stima.$n \rightarrow \infty$$n$

Ma nota che se definiamo l'ipotesi nulla come più di un singolo punto, vale a dire un test di ipotesi unilaterale come

$H_o: p \leq 0.5$

$H_a: p > 0.5$

in realtà in grado di accettare l'ipotesi nulla. Supponiamo che il nostro intervallo di confidenza dovesse essere (0,35, 0,45). Tutti questi valori inferiori o uguali a 0,5, che si trova nella regione dell'ipotesi nulla. Quindi, in quel caso, potremmo accettare il null.

Piccolo, tecnico, abuso delle statistiche nota: se si è veramente disposti ad abusare della teoria asintotica, si potrebbe effettivamente (ma non si dovrebbe ...) accettare il null nel proprio esempio: l'errore standard asintotico è . Quindi il tuo intervallo di confidenza asintotica sarà (0,0), tutto ciò che appartiene all'ipotesi nulla. Ma questo solo abusando dei risultati asintotici; nota che ottieni la stessa conclusione anche se = 1.$\sqrt{(\hat p (1 - \hat p) /n)} = 0$$n$

So che hai a che fare con un'ipotesi nulla, ma il vero problema è l'esempio dato o come affermato l'esempio semplice. 1.000 persone ricevono un farmaco e non funziona. Quali altre malattie avevano queste persone, quali erano le loro età e le fasi della malattia. Dichiarare un'ipotesi nulla più informazioni; probabilmente dettagliato; deve essere dato per fare questo lavoro in un ambiente scientifico.