Cosa significa "imparzialità"?

• Cosa significa dire che "la varianza è uno stimatore distorto".
• Cosa significa convertire una stima distorta in una stima imparziale attraverso una semplice formula. Che cosa fa esattamente questa conversione?
• Inoltre, qual è l'uso pratico di questa conversione? Converti questi punteggi quando usi un certo tipo di statistiche?

Puoi trovare tutto qui . Tuttavia, ecco una breve risposta.

Sia e la media e la varianza di interesse; si desidera stimare base a un campione di dimensione .σ 2 σ 2$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$n$

Ora, supponiamo che tu usi il seguente stimatore:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$ ,

dove è lo stimatore di .$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\mu$

Non è troppo difficile (vedi nota a piè di pagina) vedere che .$E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

Poiché , si dice che lo stimatore sia distorto.S $E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$

Ma osserva che . Pertanto è uno stimatore imparziale di . ˜ S 2=$E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$σ$\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$\sigma^2$

Nota

Inizia scrivendo e quindi espandi il prodotto ...$(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Modifica per tenere conto dei tuoi commenti

Il valore atteso di non dà (e quindi è distorto) ma si scopre che puoi trasformare in modo che l'attesa dia .σ 2 S 2 S 2 ˜ S 2 σ $S^2$$\sigma^2$$S^2$$S^2$$\tilde{S}^2$$\sigma^2$

In pratica, si preferisce spesso lavorare con invece di . Ma, se è abbastanza grande, questo non è un grosso problema poiché .S2n$\tilde{S}^2$$S^2$$n$$\frac{n}{n-1} \approx 1$

Nota Si noti che l'imparzialità è una proprietà di uno stimatore, non di un'aspettativa come hai scritto.

Questa risposta chiarisce la risposta di Ocram. Il motivo principale (e il malinteso comune) per è che usa la stima che è essa stessa stimata dai dati.S 2 ˉ $E[S^2] \neq \sigma^2$$S^2$$\bar{X}$

Se si lavora attraverso la derivazione, si vedrà che la varianza di questa stima è esattamente ciò che dà la aggiuntiva termine- σ $E[(\bar{X}-\mu)^2]$$-\frac{\sigma^2}{n}$

La spiegazione fornita da @Ocram è ottima. Per spiegare ciò che ha detto a parole: se calcoliamo dividendo semplicemente per , (che è intuitivo) la nostra stima di sarà sottovalutata. Per compensare, dividiamo per . n s 2 n - $s^2$$n$$s^2$$n-1$

Ecco un esercizio: crea una probabilità discreta con 2 risultati, ad esempio e . Trova e per questa distribuzione. Calcola e per la media del campione quando . Calcola tutti i possibili campioni di dimensioni . Calcola su quei campioni e applica le frequenze appropriate. P ( 6 ) = .75 μ σ μ σ n = 3 n = 3 s $P(2) = .25$$P(6) = .75$$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$$n = 3$$n =3$$s^2$

A volte, devi sporcarti le mani.

Generalmente l'uso di "n" nel denominatore fornisce valori più piccoli rispetto alla varianza della popolazione, che è ciò che vogliamo stimare. Ciò accade soprattutto se vengono prelevati piccoli campioni. Nel linguaggio delle statistiche, diciamo che la varianza del campione fornisce una stima "distorta" della varianza della popolazione e deve essere resa "imparziale".

Questo video risponderà adeguatamente ad ogni parte della tua domanda.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE