Quando convergono le approssimazioni della serie Taylor alle aspettative di (intere) funzioni?

Prendi un'aspettativa della forma per alcune variabili casuali univariate e un'intera funzione (ovvero, l'intervallo di convergenza è l'intera linea reale) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

Ho una funzione generatrice di momenti per e quindi posso facilmente calcolare i momenti interi. Usa una serie di Taylor attorno a e quindi applica l'aspettativa in termini di una serie di momenti centrali, Tronca questa serie, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

La mia domanda è: a quali condizioni sulla variabile aleatoria (e anche su qualsiasi cosa aggiuntiva su $f(\cdot)$ ) converge l'approssimazione delle aspettative quando aggiungo termini (cioè $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Dal momento che non sembra convergere per il mio caso (una variabile casuale poisson $f(x) = x^{\alpha}$ ), ci sono altri trucchi per trovare aspettative approssimative con momenti interi quando queste condizioni falliscono?

expected-value approximation

— jlperla
fonte

vedi qui: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@Jonathan Grazie. Vedi le mie modifiche ora che è diventato più chiaro. Molto utile, anche se non riuscivo a decifrarlo. Da ciò, sembra che una condizione sufficiente per far funzionare tutto ciò sia che la mia variabile casuale sia fortemente concentrata? Anche se ho problemi a capire esattamente come usare la disuguaglianza di Hoeffding, ecc. Per confrontarli con queste note.

— jlperla,

Cosa intendi con "una variabile casuale poisson "? È un caso o due, e qual è il pdf?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl,

Questo è alcuni anni fa, ma se ricordo, la variabile era per alcuni con PDF da en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Quella era la funzione su cui mi aspettavo. cioè

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla,

Non sono sicuro di quello che stai chiedendo. Che ne dite che i momenti più alti della distribuzione di Poisson sull'origine sono polinomi di Touchard in : cui le parentesi graffe indicano numeri di Stirling del secondo tipo?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl,

Risposte:

Dal tuo presupposto che sia reale-analitico, Converge quasi sicuramente (in effetti sicuramente) in . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Una condizione standard in base alla quale la convergenza implica la convergenza delle aspettative, vale a dire è che come alcuni tali che . (Teorema di convergenza dominato.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Questa condizione verrebbe mantenuta se la serie di potenze converge assolutamente come, ovvero e

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Il tuo esempio di una variabile casuale di Poisson , , suggerirebbe che la suddetta integrabilità del criterio del limite assoluto sia il più debole possibile, in generale. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Michael
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-1

L'approssimazione convergerà se la funzione f (x) ammette l'espansione delle serie di potenze, ovvero esistono tutti i derivati. Inoltre, sarà pienamente raggiunto se i derivati di una soglia specifica e superiore sono uguali a zero. Puoi fare riferimento a Populis [3-4] e Stark and Woods [4].

— E. Mehrban
fonte

"Sarà anche pienamente raggiunto se i derivati di una soglia specifica e superiore sono uguali a zero." Se i derivati esistono e sono uguali a zero, non è forse un altro modo di dire polinomiale?

— Accumulo

Questo non è vero. Quando "esistono tutti i derivati" nel punto di espansione della serie di potenze, le serie di potenze non devono convergere da nessuna parte. (L'esempio standard è la serie Maclaurin di ) Un altro è che anche quando la serie converge ad un certo punto, non deve convergere ovunque. Un semplice esempio è la serie Maclaurin diQuando ciò si verifica, la convergenza dipende dai dettagli della variabile casuale. Ad esempio, supponiamo che abbia una distribuzione t di Student e consideraAlla fine, non esiste nemmeno!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber