Come viene letta la notazione ?

Come viene letta la notazione ? È segue una distribuzione normale? O è una distribuzione normale? O forse è approssimativamente normale ..X X $X\sim N(\mu,\sigma^2)$$X$ $X$ $X$

E se ci sono diverse variabili che seguono (o qualunque siano le parole) la stessa distribuzione? Come è scritto?

Immagino che la variabile X sia distribuita secondo la distribuzione Normale con vettore medio e deviazione standard .$\mu$$\sigma$

Per quanto riguarda l'uso dei simboli ("segue", "è distribuito in base a") e ("equivale approssimativamente"), vedere questa risposta . Ecco come i simboli sono usati almeno in Statistica / Econometria.$\sim$$\approx$

Per quanto riguarda le convenzioni notazionali per una distribuzione, il normale è un caso limite : di solito scriviamo i parametri di definizione di una distribuzione accanto al suo simbolo, i parametri che permetteranno di scrivere correttamente la sua funzione di distribuzione cumulativa e la sua densità di probabilità / funzione di massa. Non annotiamo i momenti, che di solito sono una funzione di questi parametri, ma non sono uguali.

Quindi per un'uniforme che varia in scriviamo . La media della distribuzione è mentre la varianza è . Per una gamma (parametrizzazione su scala di forma), scriviamo . La media è e la varianza . Eccetera.U ( a , b ) ( a + b ) / 2 ( b - a ) 2 / 12 G ( k , θ ) k θ k θ $[a,b]$$U(a,b)$$(a+b)/2$$(b-a)^2/12$$G(k,\theta)$$k\theta$$k\theta^2$

Nel caso della distribuzione normale, il parametro sembra essere anche la media della distribuzione, mentre il parametro sembra essere la radice quadrata della varianza. È la mia (forse errata) impressione che nei circoli di ingegneria si veda più spesso (che è conforme alla regola notazionale generale), mentre nei circoli di Econometria quasi sempre si vede (che cade nella tentazione di fornire i momenti, trattando come parametro base e non come il suo quadrato).σ N ( μ , σ ) N ( μ , σ 2 ) σ $\mu$$\sigma$$N(\mu, \sigma)$$N(\mu, \sigma^2)$$\sigma^2$

EDIT: la mia risposta precedente non ha risposto alla domanda reale. Quello che segue è il mio tentativo di ottenere una risposta più mirata.

Come viene letta la notazione ?$X \sim N(\mu,\sigma^2)$

Altre risposte ti dicono già cosa significa la notazione, ovvero che è una variabile casuale normalmente distribuita con una media e varianza . La risposta di Dilip fornisce anche una buona spiegazione di quali altre possibili interpretazioni ci sono quando la notazione è meno chiara di , ad esempio per i parametri generali , vale a dire. .μ σ 2 σ 2 { a , b } X ∼ N ( a , b $X$$\mu$$\sigma^2$$\sigma^2$$\{a,b\}$$X\sim N(a,b)$

Ogni volta che vedo questa notazione nel testo, tendo a leggerlo in modo che abbia un senso grammaticale. Direi che questo è il modo ragionevole di trattare la notazione. Pertanto, la risposta alla tua domanda è che, sapendo cosa significa matematicamente la notazione, la leggi semplicemente in qualsiasi modo si adatti al testo. Ecco due esempi:

(1) Sia ...$X \sim N(a,b)$

(2) Considera tre variabili casuali indipendenti,$X\sim N(0,1), Y\sim N(1,2), Z \sim Exp(\lambda).$

In (1) l'ho letto come (es.) "Sia distribuito normalmente con media a e varianza b ...", e in (2) l'ho letto come "... è normale normale ...".$X$$X$

X segue una distribuzione normale?

Sì, funziona anche questo. Molte persone lo dicono in questo modo, anche se potresti voler includere la media e la varianza che caratterizzano la distribuzione.

O X è una distribuzione normale?

No, non è corretto. Vedi questa mia vecchia risposta per un resoconto di cosa sia una distribuzione.

O forse X è approssimativamente normale ..

No, anche questo è errato. Esistono altri modi per indicarlo. Come sottolineato nei commenti, è uno di questi.$\overset{\cdot}{\sim}$

E se ci sono diverse variabili che seguono (o qualunque siano le parole) la stessa distribuzione? Come è scritto?

Se sono tutti indipendenti, un modo semplice per scrivere questo è , dato che hai variabili (iid sta per indipendente e identicamente distribuito). Se non sono indipendenti, puoi dire che sono probabilmente dipendenti, ma (marginalmente) distribuiti identicamente come . Oppure potresti dover invece dichiarare la loro distribuzione congiunta - ciò dipende dallo scopo che hai per considerare le variabili casuali.n X i , i = 1 , 2 , … , n N ( μ , σ 2$X_i \overset{iid}{\sim} N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\dots n$$n$$X_i, i=1,2,\dots,n$$N(\mu,\sigma^2)$

Se sono congiuntamente normali, è facile scrivere che per caratterizzare completamente la loro distribuzione articolare usando un vettore medio e una matrice di covarianza .μ $\mathbf X :=(X_1,\dots,X_n)'\sim N(\mu, \Sigma)$$\mu$$\Sigma$

In generale, si può definire una qualsiasi funzione di distribuzione multivariata e poi scrivere che .X ∼ $F$$\mathbf X \sim F$

La difficoltà non sta nel sapere cosa significa . Perfino N ( 3 , 5 2 ) è ragionevolmente inequivocabile per la maggior parte dei peamen poiché significa una variabile casuale normale con media 3 e varianza 5 2 o varianza 25 (i puristi dovrebbero credere che la deviazione standard sia un parametro più fondamentale di quanto la varianza dovrebbe dire liberamente "deviazione standard 5 " invece). Tuttavia, cosa si intende per N ( a , b ) , ad esempio N ( $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$$\mathcal N(3,5^2)$$3$$5^2$$25$$5$$\mathcal N(a,b)$ è soggetto ad almeno tre convenzioni diverse rispetto alla varianza o alla deviazione standard. Tutte e tre le convenzioni concordano sul fatto che il 3 è ilmedia μ X di X , ma il 2 5 ha significati diversi per persone diverse.$\mathcal N(3,25)$$\mathbf 3$ $\mu_X$$X$$\mathbf 25$

• significa che ladeviazione standarddi X è 25 . $X \sim \mathcal N(\star,25)$$X$$25$

• significa che lavarianzadi X è 25 .$X \sim \mathcal N(\star,25)$$X$$25$

• significa che lavarianzadi X è$X \sim \mathcal N(\star,25)$$X$ .$\dfrac{1}{25}$

Vedi questa domanda e i commenti che seguono per alcuni dettagli.

è una variabile casuale " X ";$X$$X$

viene letto "viene distribuito come";$\sim$

viene letto "Normale";$N$

viene letto "con media μ " (la convenzione è che la prima voce dopo la parentesi aperta è la media e la seconda è la varianza o la deviazione standard, a seconda della notazione - vedere sotto); e$\mu$$\mu$

viene letto "con varianza σ 2 (o deviazione standard σ 2 , a seconda dell'uso dell'autore / utente. In questo caso, suppongo sia con varianza σ 2 .$\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma^2$

Mettendo tutto insieme, hai una variabile casuale che è distribuita come Normale con una media "mu" ( μ ) e varianza "sigma squared" ( σ 2 ).$X$$\mu$$\sigma^2$

Puoi anche dire che segue una normalità. . .$X$

Se più variabili seguono la stessa distribuzione, puoi rappresentarle in diversi modi, ma potresti voler indicizzare le variabili da a n . Quindi potresti scrivere, X i ∼ N ( μ , σ 2 ) , per i = 1 a n .$i=1$$n$$X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$$i=1$$n$

è normalmente distribuito con media μ e deviazione standard σ . La tilde non significa approssimazione, in quanto non è correlata a un segno di uguale, sebbene lo implichi in un modo poiché X non è mai definitivamente noto.$X$$\mu$$\sigma$